Summen av de indre vinklene til en konveks polygon kan bestemmes ved å vite antall sider (n), ganske enkelt subtrahere denne verdien med to (n - 2) og multiplisere med 180°.
En polygon er en lukket overflate dannet av en polygonal linje, det vil si at sidene er rette linjer, og møtet mellom to sider danner en vinkel. I tilfelle polygonen er konveks, er alle indre vinkler mindre enn 180°.
Summen av de indre vinklene til en konveks polygon
For å legge til de indre vinklene til en konveks polygon, vet vi enten verdiene til alle vinklene og legger dem til, eller vi kan bestemme summen ved å vite antall sider til denne polygonen.
Å kjenne de totale sidene til en polygon er i mange tilfeller enklere informasjon å få frem enn verdiene for hver vinkel.
Formel for summen av indre vinkler i en polygon
For å bestemme summen av de indre vinklene til en konveks polygon som bare kjenner antall sider, bruker vi formelen:
Hvor,
ja er summen, summen av grader av alle vinkler.
Nei er antall sider.
Eksempel
Summen av de indre vinklene til en firkant er:
Siden en firkant har 4 sider, er n lik 4.
Summen av de indre vinklene til en vanlig polygon
Summen av de indre vinklene til en regulær polygon beregnes på samme måte. En polygon er regelmessig når alle sider og vinkler er like. Antall vinkler er alltid lik antall sider.
Innvendig vinkel til en vanlig polygon
Siden alle vinkler har samme mål, er det nok å dele summen av de indre vinklene med antall vinkler, derfor antall sider.
Hvor,
Si er summen, summen av grader av alle vinkler.
n er antall sider.
Eksempel
Målingen av de indre vinklene til en vanlig femkant er:
Først bestemmer vi summen av dens indre vinkler ved å bruke n = 5.
Nå er det bare å dele på antall sider.
Navn på polygoner basert på sider
Nevn noen polygoner avhengig av antall sider.
| antall sider | Navn |
|---|---|
| 3 | Triangel |
| 4 | firkant |
| 5 | Pentagon |
| 6 | Sekskant |
| 7 | Heptagon |
| 8 | Oktagon |
| 9 | enagon |
| 10 | Decagon |
| 11 | undecagon |
| 12 | Dodekagon |
| 20 | icosagon |
Deduksjon av formelen for summen av de indre vinklene til en polygon
Vi tar utgangspunkt i at hver trekant har 180° som summen av sine indre vinkler.
Fra et hvilket som helst toppunkt i en konveks polygon kan vi tegne diagonaler og danne trekanter.
Siden summen av de indre vinklene til hver trekant er lik 180°, multipliser ganske enkelt antall trekanter dannet med 180°.
Vi kan se at antall trekanter som dannes alltid er lik antall sider minus 2.
For en trekant er n = 3.
For en firkant er n = 4.
Det er 2 trekanter:
For en femkant er n = 5.
Det er 3 trekanter:
På denne måten kan vi generalisere og erstatte begrepet antall trekanter ved (n-2) og formelen ser slik ut:
lære mer om polygoner og vinkler.
Øvelser
Øvelse 1
Finn summen av de indre vinklene til en konveks polygon med 17 sider.
Svar: 2 700º
Øvelse 2
Hva heter en polygon hvis indre vinkler summerer til 1440°?
Svar: Polygonet hvis sum av de indre vinklene er 1440° kalles en dekagon, og har 10 sider.
Øvelse 3
Finn verdien av de indre vinklene til en vanlig åttekant.
Svar: I en vanlig åttekant måler hver indre vinkel 135°.
Først må vi bestemme summen av de indre vinklene til en åttekant. Siden den har åtte sider, er n = 8.
Siden polygonet er regelmessig, har alle de indre vinklene samme mål, og bare del totalen med 8.
øve mer polygonøvelser.
Se også:
- Areal og omkrets
- Polygonområde
- Sekskant
- firkanter
- parallellogram
