Analytisk geometri: hovedbegreper og formler

Analytisk geometri studerer geometriske elementer i et koordinatsystem i et plan eller rom. Disse geometriske objektene bestemmes av deres plassering og posisjon i forhold til punkter og akser i dette orienteringssystemet.

Siden eldgamle folk, som egypterne og romerne, har ideen om koordinater allerede dukket opp i historien. Men det var på 1600-tallet, med verkene til René Descartes og Pierre de Fermat, at dette feltet av matematikk ble systematisert.

Kartesisk ortogonalt system

Det ortogonale kartesiske systemet er en referansebase for lokalisering av koordinater. Den består, i et plan, av to vinkelrette akser til hverandre.

O(0,0)-opprinnelsen til dette systemet er skjæringspunktet mellom disse aksene.
X-aksen er abscissen.
Y-aksen er ordinaten.
De fire kvadrantene er mot klokken.

Bestilt par

Ethvert punkt på planet har koordinaten P(x, y).

x er abscissen til punktet P og utgjør avstanden fra dets ortogonale projeksjon på x-aksen til origo.
y er ordinaten til punktet P og er avstanden fra dets ortogonale projeksjon på y-aksen til origo.

instagram story viewer

avstand mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter på det kartesiske planet er lengden på segmentet som forbinder disse to punktene.

Avstand mellom to punkter formel rett A venstre parentes rett x med rett A senket komma rett mellomrom y med rett A senket høyre parentes og rett B åpne parentes rett x med rett B senket komma komma rett mellomrom y med rett B senket mellomrom lukk parentes noen.

startstil matematikk størrelse 22px rett d med AB nedskreven er lik kvadratroten av venstre parentes rett x med rett B senket minus rett x med rett A nedskrevet høyre kvadrat parentes pluss venstre parentes rett y med rett B senket minus rett y med rett A senket høyre kvadrat parentes slutten av rotenden av stil

Midtpunktskoordinater

Midtpunkt er punktet som deler et segment i to like deler.

Å være M åpner parentes x med M senket komma mellomrom y med M senket lukker parentesen midtpunktet i et segment stabel A B med stang over , dens koordinater er de aritmetiske middelverdiene for abscissen og ordinaten.

startstil matematikk størrelse 22px x med rett M nedskreven lik teller rett x med rett B subscript pluss rett x med rett A nedskrevet over nevner 2 slutten av brøk slutten av stilen og

Trepunkts opprettingstilstand

Gitt poengene: .

Disse tre punktene vil bli justert hvis determinanten for følgende matrise er lik null.

start stil matematikk størrelse 22px det mellomrom åpne firkantede parenteser tabellrad med celle med rett x med rett A subscript slutten av celle celle med rett y med rett A slutten av celle senket 1 rad med celle med rett x med rett B senket slutten av celle celle med rett y med rett B senket slutten av celle 1 rad med celle med rett x med rett C senket ende av celle celle med rett y med rett C senket ende av celle 1 ende av tabellen lukker hakeparentes mellomrom lik mellomrom 0 slutten av stil

Eksempel

Vinkelkoeffisienten til en linje

bakken rett m av en rett linje er tangenten til skråningen alfa i forhold til x-aksen.

start stil matematikk størrelse 22px rett m mellomrom lik mellomrom tg rett mellomrom alfa slutten av stilen

For å få skråningen fra to punkter:

startstil matematikk størrelse 22px rett m lik teller rett y med rett B subscript minus rett y med rett A senket over nevneren rett x med rett B senket minus rett x med rett A senket slutten av brøken slutten av stil

Hvis m > 0, er linjen stigende, ellers, hvis m < 0, er linjen synkende.

generell likning av linjen

Hvor De,B og ç er konstante reelle tall og, De og B de er ikke samtidig null.

Eksempel

Linjeligning å kjenne et punkt og stigningstallet

gitt et poeng rett A åpner parentes rett x med 0 senket komma komma rett mellomrom y med 0 senket lukker parentes og skråningen rett m .

Linjens ligning vil være:

startstil matematikk størrelse 22px rett y minus rett y med 0 nedskreven er lik rett m venstre parentes rett x minus rett x med 0 senket høyre parentes slutten av stilen

Eksempel

Redusert form av den rette ligningen

start stil matte størrelse 22px rett y er lik mx rett n slutten av stilen

Hvor:
m er skråningen;
n er den lineære koeffisienten.

Nei er ordnet der linjen skjærer y-aksen.

Eksempel

Se Linjeligning.

Relativ posisjon mellom to parallelle linjer i et plan

To distinkte linjer er parallelle når skråningene deres er like.

hvis en straight r har skråning rett m med rett r subscript , og en straight s har skråning rett m med rett s underskrift , disse er parallelle når:

startstil matematikk størrelse 22px rett m med rett r nedskreven er lik rett m med rett s nedskrevet stilslutt

For dette må tilbøyelighetene dine være like.

m med s senket lik t g alfamellomrom med s senket mellomrom slutten av senket skrift m med r senket lik t g alfamellomrommet med r senket mellomrom slutten av senket

Tangenter er like når vinklene er like.

Relativ posisjon mellom to konkurrerende rette linjer i et plan

To linjer er samtidige når skråningene deres er forskjellige.

Feil ved konvertering fra MathML til tilgjengelig tekst.

I sin tur er bakkene forskjellige når helningsvinklene deres i forhold til x-aksen er forskjellige.

alfa med r subscript ikke lik alfa med s subscript

vinkelrette linjer

To rester er vinkelrette når produktet av skråningene deres er lik -1.

to rette r og s, distinkt, med bakker m med r subscript og m med s abonnert , er vinkelrett hvis, og bare hvis:

start stil matematikk størrelse 22px rett m med rett r subscript. rett m med s underskrift er lik minus 1 slutten av stilen

eller

startstil matematikk størrelse 22px rett m med rett r nedskreven er lik minus 1 over rett m med rett s nedskrevet slutten av stilen

En annen måte å finne ut om to linjer er vinkelrette på er fra ligningene deres i generell form.

Ligningene til linjene r og s er:

r kolon et mellomrom med r subscript x pluss b med r subscript y pluss space c med r subscript space s kolon et mellomrom med s subscript x pluss b med s subscript y pluss c med s subscript

To linjer vinkelrett på den når:

start stil matte størrelse 22px rett a med rett r subscript. rett a med rett s subscript pluss rett b med rett r subscript. rett b med rett s underskrift lik 0 slutten av stilen

Se Vinkelrette linjer.

Omkrets

Omkrets er stedet på planet der alle punktene P(x, y) har samme avstand r fra sentrum C(a, b), hvor r er målet for å være radius.

Omkretsligning i redusert form

startstil matematikk størrelse 22px åpne firkantede parenteser x minus rett a lukke firkantede parenteser pluss åpen parentes y minus rett b lukker kvadrat parentes lik rett r kvadratisk slutten av stil

Hvor:
r er radiusen, avstanden mellom ethvert punkt på buen og sentrum. Ç.
De og B er koordinatene til sentrum Ç.

generell sirkelligning

startstil matematikk størrelse 22px rett x kvadrat pluss rett y kvadrat minus 2 øks minus 2 ganger pluss åpen parentes rett a kvadrat pluss rett b kvadrat minus rett r kvadrat lukker parentes lik 0 slutten av stil

Det oppnås ved å utvikle kvadrerte ledd av den reduserte ligningen av omkretsen.

Det er veldig vanlig å vise den generelle formen til omkretsligningen i øvelser, også kjent som normalformen.

konisk

Ordet kjegle kommer fra en kjegle og refererer til kurvene som oppnås ved å seksjonere den. Ellipse, hyperbel og parabel er kurver som kalles kjegleformet.

Ellipse

Ellipse er en lukket kurve oppnådd ved å seksjonere en rett sirkulær kjegle med et plan skrått til aksen, som ikke passerer gjennom toppunktet og ikke er parallell med generatrisene.

I et plan er settet av alle punkter hvis sum av avstander til to interne fikspunkter er konstant.

Ellipseelementer:

F1 og F2 er brennpunktene til ellipsen;
2c er brennvidden til ellipsen. Det er avstanden mellom F1 og F2;
Poenget O det er midten av ellipsen. Det er midtpunktet mellom F1 og F2;
A1 og A2 er toppene av ellipsen;
segmentet hovedakse og lik 2a.
segmentet mindre akse er lik 2b.
Eksentrisitet hvor 0 < og < 1.

Redusert ellipseligning

Tenk på et punkt P(x, y) i ellipsen der x er abscissen og y er ordinaten til dette punktet.

Sentrum av ellipsen ved opprinnelsen til koordinatsystemet og hovedaksen (AA) på x-aksen.

start stil matematikk størrelse 22px rett x kvadrat over rett a kvadrat pluss rett y kvadrat over rett b kvadrat er lik 1 slutten av stilen

Sentrum av ellipsen ved opprinnelsen til koordinatsystemet og hovedaksen (AA) på y-aksen.

startstil matematikk størrelse 22px rett x kvadrat over rett b kvadrat pluss rett y kvadrat over rett a kvadrat er lik 1 slutten av stilen

Redusert ligning av ellipsen med akser parallelle med koordinataksene

vurderer et poeng rett venstre parentes rett x med 0 senket komma rett mellomrom y med 0 senket høyre parentes som opprinnelsen til det kartesiske systemet og et poeng rett C venstre parentes rett x med 0 senket komma rett mellomrom y med 0 senket høyre parentes som sentrum av ellipsen.

AA hovedakse, parallell med x-aksen.

startstil matematikk størrelse 22px venstre parentes rett x minus rett x med 0 senket høyre parentes kvadratisk over rett a ao kvadrat pluss venstre parentes rett y minus rett y med 0 senket høyre parentes kvadratisk over rett b kvadratisk lik 1 ende av stil

AA hovedakse, parallell med y-aksen.

Overdrivelse

Hyperbel er et sett med punkter på et plan der forskjellen mellom to faste punkter F1 og F2 resulterer i en konstant, positiv verdi.

Elementer av hyperbole:

F1 og F2 er foci av hyperbel.
2c = er brennvidden.
Sentrum av hyperbole er poenget Å, F1F2 segmentgjennomsnitt.
A1 og A2 er toppunktene.
2a = A1A2 er den reelle eller tverrgående aksen.
2b = B1B2 er den imaginære eller konjugerte aksen.
er eksentrisiteten.

Gjennom trekant B1OA2

rett c kvadrat er lik rett a kvadrat pluss rett b kvadrat

Hyperbel redusert ligning

Med reell akse om x-akse og sentrum ved origo.
start stil matematikk størrelse 22px rett x kvadrat over rett a kvadrat minus rett y kvadrat over rett b kvadrat er lik 1 slutten av stilen

Med reell akse på y-aksen og senter ved origo.

Hyperbelligning med akser parallelle med koordinatakser

AA reell akse parallelt med x-aksen og sentrum rett C venstre parentes rett x med 0 senket rett komma y med 0 senket høyre parentes .

startstil matematikk størrelse 22px venstre parentes rett x minus rett x med 0 senket høyre parentes kvadratisk over rett a ao kvadrat minus venstre parentes rett y minus rett y med 0 senket høyre parentes kvadratisk over rett b kvadratisk lik 1 ende av stil

Reell akse AA parallelt med y-aksen og sentrum rett C venstre parentes rett x med 0 senket rett komma y med 0 senket høyre parentes .

startstil matematikk størrelse 22px venstre parentes rett y minus rett y med 0 nedsett høyre parentes kvadratisk over rett a ao kvadrat minus venstre parentes rett x minus rett x med 0 senket høyre parentes kvadratisk over rett b kvadratisk lik 1 ende av stil

Lignelse

Parabel er stedet der settet med punkter P(x, y) har samme avstand fra et fast punkt F og en linje d.

Elementer i lignelsen:

F er lignelsens fokus;
d er den rette retningslinjen;
Symmetriaksen er den rette linjen gjennom fokus F og vinkelrett på ledelinjen.
V er toppunktet til parablen.
p er segmentet med samme lengde mellom fokus F og toppunkt V e, mellom toppunkt og direktiv d.