Øvelser om trigonometriske forholdstall

Trigonometriske forhold: sinus, cosinus og tangens er forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant. Ved å bruke disse forholdstallene er det mulig å bestemme ukjente verdier av vinkler og sidemål.

Øv på kunnskapen din med de løste problemene.

spørsmål om sinus

Spørsmål 1

være vinkelen beta lik 30° og hypotenusen 47 m, beregn høydemålet De av trekanten.

Se svar

Det trigonometriske sinusforholdet er kvotienten mellom målene på motsatt side av vinkelen og hypotenusen.

s e n space beta space lik space teller c a t e t space o po s t o over nevner h i p o t e n u s end of brøk s e n space beta space lik space a over 47

Isolerer De på den ene siden av likestilling har vi:

til mellomrom lik mellomrom 47. s space og n space beta
Fra en trigonometrisk tabell har vi at sinus på 30° er lik 1 halvdel , erstatter i ligningen:

et mellomrom er lik mellomrom 47.1 halvparten tilsvarer 23 komma 5

Derfor er høyden på trekanten 23,50 m.

spørsmål 2

Toppvisningen av en park viser to stier for å komme til punkt C fra punkt A. Et av alternativene er å gå til B, hvor det er drikkefontener og hvilesteder, og deretter til C. Hvis en besøkende i parken ønsker å gå rett til C, hvor mange meter vil han ha gått mindre enn det første alternativet?

Vurder tilnærminger:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
brun 58° = 1,60

Se svar

instagram story viewer

Svar: forlater A og går rett til C, turen er 7,54 m kortere.

Trinn 1: beregn avstand AB med hevet skråstrek .

s og n mellomrom 58 graders tegn lik 17 over h h lik teller 17 over nevner s og n mellomrom 58 gradtegn slutten av brøken h lik teller 17 over nevneren 0 komma 85 slutten av brøken lik 20 m plass

Trinn 2: Bestem avstanden AB med hevet skråstrek .

h mellomrom minus mellomrom 9 komma 46 20 mellomrom minus mellomrom 9 komma 46 mellomrom er lik mellomrom 10 komma 54 m mellomrom

Trinn 3: Bestem avstanden .

Trinn 4: Bestem forskjellen mellom de to banene.

spørsmål 3

En taubane ble installert som koblet en base til toppen av et fjell. Til installasjonen ble det brukt 1358 m kabler, anordnet i en vinkel på 30° i forhold til bakken. Hvor høyt er fjellet?

Se svar

Riktig svar: Høyden på fjellet er 679 m.

Vi kan bruke det trigonometriske sinusforholdet for å bestemme høyden på fjellet.

Fra en trigonometrisk tabell har vi sin 30° = 0,5. Siden sinus er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen, bestemmer vi høyden.

s e n 30 tegn på grad lik teller c a t e t o mellomrom o po s t o over nevner h i p o t e n u s slutten av brøk s e n 30 tegn av grad lik teller a l t u r et mellomrom m o n tan h et mellomrom over nevner k o m p r i m e n t o s space c a b o s space slutten av brøk 0 komma 5 lik teller a l t u r et mellomrom d et mellomrom m o n tan ha over nevner 1358 slutten av brøk 0 komma 5 rom. plass 1358 plass lik plass alt t u r et mellomrom m o n tan h et mellomrom 679 m plass lik plass l t u r plass m o n tan h a space

spørsmål 4

(CBM-SC, soldat-2010) For å hjelpe en person i en leilighet under en brann, brannmenn vil bruke en stige på 30 meter, som plasseres som vist i figuren nedenfor, og danner en vinkel med bakken av 60. Hvor langt er leiligheten fra gulvet? (Bruk sen60º=0,87; cos60º=0,5 og tg60º= 1,73)

a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.

Se svar

Riktig svar: b) 26,1 m.

For å bestemme høyden bruker vi 60° sinus. Kaller høyden h og bruker 60° sinus lik 0,87.

s og n mellomrom 60 graders tegn lik h over 30 h lik 30 mellomrom. s mellomrom og n mellomrom 60 graders tegn h tilsvarer 30 mellomrom. mellomrom 0 komma 87 h tilsvarer 26 komma 1 mellomrom m.

Spørsmål om kosinus

spørsmål 5

Cosinus er forholdet mellom siden ved siden av en vinkel og målingen av hypotenusen. Å være alfa lik 45°, beregn målet på benet ved siden av vinkelen alfa, i trekanten på figuren.

ta i betraktning cos mellomrom 45 graders tegn lik teller kvadratroten av 2 over nevner 2 slutten av brøken

Se svar

cos plass 45 graders tegn lik c over 28 28 plass. space cos space 45 graders tegn lik c 28 space. tellerrom kvadratrot av 2 over nevner 2 brøkslutt lik c 14 kvadratrot av 2 lik c

Tilnærmet kvadratrotverdien av 2:

14.1 komma 41 omtrent lik c 19 komma 74 omtrent lik mellomrom c

Mål på det tilstøtende benet er omtrent 19,74 m.

spørsmål 6

Under en fotballkamp kaster spiller 1 til spiller 2 i en vinkel på 48°. Hvor langt må ballen reise for å nå spiller 2?

Ta i betraktning:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
brun 48° = 1,11

Se svar

Riktig svar: Ballen må reise en avstand på 54,54 m.

Målingen mellom spiller 1 og spiller 2 er hypotenusen til den rette trekanten.

Cosinus til 48°-vinkelen er forholdet mellom dens tilstøtende side og hypotenusen, der den tilstøtende siden er avstanden mellom midtbanen og det store området.

52,5 - 16,5 = 36 m

Beregner cosinus, hvor h er hypotenusen.

cos space 48 graders tegn 36 over h h lik teller 36 over nevneren cos space 48 graders tegn slutt av brøk h lik teller 36 over nevner 0 komma 66 slutten av brøk h omtrent lik 54 komma 54 mellomrom m

spørsmål 7

Et tak regnes som gavl når det er to skråninger. I ett verk bygges det et tak der møtet mellom dets to vann er nøyaktig midt på helleren. Helningsvinkelen til hvert vann i forhold til platen er 30°. Hellen er 24 m lang. For å bestille flisene selv før strukturen som skal støtte taket er fullført, er det nødvendig å vite lengden på hvert vann, som vil være:

Se svar

Siden helleren er 24 m lang, vil hvert vann være 12 m.
Når vi kaller lengden på hvert takvann L, har vi:

cos space 30 graders tegn 12 over L L lik teller 12 over nevneren cos space 30 graders tegn slutten av brøk L lik teller 12 over nevner start stil vis teller kvadratrot av 3 over nevner 2 slutten av brøk slutten av stilen slutten av brøk lik teller 2,12 over 3-ende kvadratrotnevner av brøk lik teller 24 over 3-ende kvadratrotnevner av brøkdelen

Rasjonalisere brøken for å få det irrasjonelle tallet kvadratroten av 3 av nevneren.

teller 24 over kvadratrotnevneren av 3 enden av brøken. teller kvadratrot av 3 over nevner kvadratrot av 3 slutten av brøk lik teller 24 kvadratrot av 3 over nevner kvadratrot av 9 slutten av brøk lik teller 24 kvadratrot av 3 over nevner 3 slutten av brøk lik 8 rot kvadrat på 3

Lager, kvadratroten av 3 er omtrent lik 1 komma 7

L er lik 8 kvadratroten av 3 er lik 8,1 punkt 7 er lik 13 punkt 6 space m

Derfor vil lengden på hvert takvann være ca 13,6m.

spørsmål 8

Tangent er forholdet mellom siden motsatt en vinkel, og dens tilstøtende side. være vinkelen alfa lik 60°, beregn høyden på trekanten.

Se svar

tan space alpha lik over 34 et mellomrom lik space 34 space. tan space alpha space a lik 34 space. space tan space 60 a lik 34. kvadratrot av 3 m plass

Tangent spørsmål

spørsmål 9

En person ønsker å vite bredden på en elv før han krysser den. For dette setter den et referansepunkt på den andre kanten, som for eksempel et tre (punkt C). I posisjonen du er i (punkt B), gå 10 meter til venstre, til det dannes en vinkel på 30° mellom punkt A og punkt C. Regn ut bredden på elven.

ta i betraktning kvadratroten av 3 er lik 1 poeng 73 .

Se svar

For å beregne bredden på elven som vi vil kalle L, bruker vi tangenten til vinkelen alfa .

tan space alpha space lik space L over 10 L lik space 10 space. space tan space alpha L er lik space 10 space. romteller kvadratroten av 3 over nevner 3 slutten av brøk L lik 10 mellomrom. mellomrom teller 1 komma 73 over nevner 3 slutten av brøk L lik teller 17 komma 3 over nevner 3 slutten av brøk L omtrent lik 5 komma 76 mellomrom m

spørsmål 10

(Enem 2020) Pergolado er navnet gitt til en type tak designet av arkitekter, vanligvis i firkanter og
hager, for å skape et miljø for mennesker eller planter, der det er et fall i mengden lys,
avhengig av solens posisjon. Den er laget som en pall med like bjelker, plassert parallelt og perfekt
på rad, som vist på figuren.

En arkitekt designer en pergola med 30 cm spenn mellom bjelkene, slik at i
sommersolverv, utføres solens bane i løpet av dagen i et plan vinkelrett på retningen til
stråler, og at ettermiddagssolen, når dens stråler gjør 30° med pinneposisjonen, genererer halvparten
av lyset som passerer i pergolaen ved middagstid.
For å møte prosjektforslaget utarbeidet av arkitekten må pergolabjelkene være
konstruert slik at høyden, i centimeter, er nærmest mulig

a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.

Se svar

Riktig svar: c) 26.

For å forstå situasjonen, la oss lage en disposisjon.

Bildet til venstre viser forekomsten av sollys ved middagstid, med 100 %. Bildet til venstre er det som interesserer oss. Den lar bare 50 % av solstrålene passere gjennom pergolaen i en helning på 30 %.

Vi bruker det tangent trigonometriske forholdet. Tangens til en vinkel er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Når vi kaller høyden på pergolaen h, har vi:

brunfarge mellomrom 30 graders tegn 15 over h h lik tellerrom 15 over nevneren brunfarget mellomrom 30 graders tegn slutt på brøk

Å lage en tangent på 30° = kvadratrotteller av 3 over nevner 3 slutten av brøken

h er lik teller 15 over nevner startstil vis teller kvadratroten av 3 over nevner 3 sluttbrøk sluttstil slutten av brøk lik teller 3,15 over kvadratrotnevner av 3 ender av brøk lik teller 45 over kvadratrotnevner av 3 ender av brøkdel

La oss rasjonalisere den siste brøken slik at vi ikke lar roten av tre, et irrasjonelt tall, stå i nevneren.

teller 45 over kvadratrotnevneren av 3 ender av brøken. teller kvadratroten av 3 over nevneren kvadratroten av 3 slutten av brøken lik teller 45 kvadratroten av 3 over nevner kvadratroten av 9 slutten av brøken lik telleren 45 kvadratroten av 3 over nevneren 3 slutten av brøken lik 15 roten kvadrat på 3

Lager, kvadratroten av 3 er omtrent lik 1 komma 7

Av alternativene som er tilgjengelige for spørsmålet, er den nærmeste bokstaven c, høyden på bjelkene må være ca. 26 cm.

spørsmål 11

(Enem 2010) En atmosfærisk ballong, skutt opp i Bauru (343 kilometer nordvest for São Paulo), om natten sist søndag falt det denne mandagen i Cuiabá Paulista, i Presidente Prudente-regionen, skremmende
bønder i regionen. Artefakten er en del av Hibiscus Project-programmet, utviklet av Brasil, Frankrike,
Argentina, England og Italia, for å måle oppførselen til ozonlaget, og dets nedstigning fant sted
etter overholdelse av forventet måletid.

På datoen for arrangementet så to personer ballongen. Den ene var 1,8 km fra ballongens vertikale posisjon
og så den i en vinkel på 60°; den andre var 5,5 km fra ballongens vertikale posisjon, på linje med
først, og i samme retning, som vist på figuren, og så den i en vinkel på 30°.
Hva er den omtrentlige høyden på ballongen?

a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km

Se svar

Riktig svar: c) 3,1 km

Vi bruker 60°-tangenten som er lik kvadratroten av 3 . Tangenten er det trigonometriske forholdet mellom motsatt side av vinkelen og dens tilstøtende.