Trigonometriske forhold: sinus, cosinus og tangens er forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant. Ved å bruke disse forholdstallene er det mulig å bestemme ukjente verdier av vinkler og sidemål.
Øv på kunnskapen din med de løste problemene.
spørsmål om sinus
Spørsmål 1
være vinkelen lik 30° og hypotenusen 47 m, beregn høydemålet De av trekanten.
Det trigonometriske sinusforholdet er kvotienten mellom målene på motsatt side av vinkelen og hypotenusen.
Isolerer De på den ene siden av likestilling har vi:
Fra en trigonometrisk tabell har vi at sinus på 30° er lik , erstatter i ligningen:
Derfor er høyden på trekanten 23,50 m.
spørsmål 2
Toppvisningen av en park viser to stier for å komme til punkt C fra punkt A. Et av alternativene er å gå til B, hvor det er drikkefontener og hvilesteder, og deretter til C. Hvis en besøkende i parken ønsker å gå rett til C, hvor mange meter vil han ha gått mindre enn det første alternativet?
Vurder tilnærminger:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
brun 58° = 1,60
Svar: forlater A og går rett til C, turen er 7,54 m kortere.
Trinn 1: beregn avstand.
Trinn 2: Bestem avstanden.
Trinn 3: Bestem avstanden .
Trinn 4: Bestem forskjellen mellom de to banene.
spørsmål 3
En taubane ble installert som koblet en base til toppen av et fjell. Til installasjonen ble det brukt 1358 m kabler, anordnet i en vinkel på 30° i forhold til bakken. Hvor høyt er fjellet?
Riktig svar: Høyden på fjellet er 679 m.
Vi kan bruke det trigonometriske sinusforholdet for å bestemme høyden på fjellet.
Fra en trigonometrisk tabell har vi sin 30° = 0,5. Siden sinus er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen, bestemmer vi høyden.
spørsmål 4
(CBM-SC, soldat-2010) For å hjelpe en person i en leilighet under en brann, brannmenn vil bruke en stige på 30 meter, som plasseres som vist i figuren nedenfor, og danner en vinkel med bakken av 60. Hvor langt er leiligheten fra gulvet? (Bruk sen60º=0,87; cos60º=0,5 og tg60º= 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Riktig svar: b) 26,1 m.
For å bestemme høyden bruker vi 60° sinus. Kaller høyden h og bruker 60° sinus lik 0,87.
Spørsmål om kosinus
spørsmål 5
Cosinus er forholdet mellom siden ved siden av en vinkel og målingen av hypotenusen. Å være lik 45°, beregn målet på benet ved siden av vinkelen alfa, i trekanten på figuren.
ta i betraktning
Tilnærmet kvadratrotverdien av 2:
Mål på det tilstøtende benet er omtrent 19,74 m.
spørsmål 6
Under en fotballkamp kaster spiller 1 til spiller 2 i en vinkel på 48°. Hvor langt må ballen reise for å nå spiller 2?
Ta i betraktning:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
brun 48° = 1,11
Riktig svar: Ballen må reise en avstand på 54,54 m.
Målingen mellom spiller 1 og spiller 2 er hypotenusen til den rette trekanten.
Cosinus til 48°-vinkelen er forholdet mellom dens tilstøtende side og hypotenusen, der den tilstøtende siden er avstanden mellom midtbanen og det store området.
52,5 - 16,5 = 36 m
Beregner cosinus, hvor h er hypotenusen.
spørsmål 7
Et tak regnes som gavl når det er to skråninger. I ett verk bygges det et tak der møtet mellom dets to vann er nøyaktig midt på helleren. Helningsvinkelen til hvert vann i forhold til platen er 30°. Hellen er 24 m lang. For å bestille flisene selv før strukturen som skal støtte taket er fullført, er det nødvendig å vite lengden på hvert vann, som vil være:
Siden helleren er 24 m lang, vil hvert vann være 12 m.
Når vi kaller lengden på hvert takvann L, har vi:
Rasjonalisere brøken for å få det irrasjonelle tallet av nevneren.
Lager,
Derfor vil lengden på hvert takvann være ca 13,6m.
spørsmål 8
Tangent er forholdet mellom siden motsatt en vinkel, og dens tilstøtende side. være vinkelen lik 60°, beregn høyden på trekanten.
Tangent spørsmål
spørsmål 9
En person ønsker å vite bredden på en elv før han krysser den. For dette setter den et referansepunkt på den andre kanten, som for eksempel et tre (punkt C). I posisjonen du er i (punkt B), gå 10 meter til venstre, til det dannes en vinkel på 30° mellom punkt A og punkt C. Regn ut bredden på elven.
ta i betraktning .
For å beregne bredden på elven som vi vil kalle L, bruker vi tangenten til vinkelen .
spørsmål 10
(Enem 2020) Pergolado er navnet gitt til en type tak designet av arkitekter, vanligvis i firkanter og
hager, for å skape et miljø for mennesker eller planter, der det er et fall i mengden lys,
avhengig av solens posisjon. Den er laget som en pall med like bjelker, plassert parallelt og perfekt
på rad, som vist på figuren.
En arkitekt designer en pergola med 30 cm spenn mellom bjelkene, slik at i
sommersolverv, utføres solens bane i løpet av dagen i et plan vinkelrett på retningen til
stråler, og at ettermiddagssolen, når dens stråler gjør 30° med pinneposisjonen, genererer halvparten
av lyset som passerer i pergolaen ved middagstid.
For å møte prosjektforslaget utarbeidet av arkitekten må pergolabjelkene være
konstruert slik at høyden, i centimeter, er nærmest mulig
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Riktig svar: c) 26.
For å forstå situasjonen, la oss lage en disposisjon.
Bildet til venstre viser forekomsten av sollys ved middagstid, med 100 %. Bildet til venstre er det som interesserer oss. Den lar bare 50 % av solstrålene passere gjennom pergolaen i en helning på 30 %.
Vi bruker det tangent trigonometriske forholdet. Tangens til en vinkel er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Når vi kaller høyden på pergolaen h, har vi:
Å lage en tangent på 30° =
La oss rasjonalisere den siste brøken slik at vi ikke lar roten av tre, et irrasjonelt tall, stå i nevneren.
Lager,
Av alternativene som er tilgjengelige for spørsmålet, er den nærmeste bokstaven c, høyden på bjelkene må være ca. 26 cm.
spørsmål 11
(Enem 2010) En atmosfærisk ballong, skutt opp i Bauru (343 kilometer nordvest for São Paulo), om natten sist søndag falt det denne mandagen i Cuiabá Paulista, i Presidente Prudente-regionen, skremmende
bønder i regionen. Artefakten er en del av Hibiscus Project-programmet, utviklet av Brasil, Frankrike,
Argentina, England og Italia, for å måle oppførselen til ozonlaget, og dets nedstigning fant sted
etter overholdelse av forventet måletid.
På datoen for arrangementet så to personer ballongen. Den ene var 1,8 km fra ballongens vertikale posisjon
og så den i en vinkel på 60°; den andre var 5,5 km fra ballongens vertikale posisjon, på linje med
først, og i samme retning, som vist på figuren, og så den i en vinkel på 30°.
Hva er den omtrentlige høyden på ballongen?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Riktig svar: c) 3,1 km
Vi bruker 60°-tangenten som er lik . Tangenten er det trigonometriske forholdet mellom motsatt side av vinkelen og dens tilstøtende.
Derfor var høyden på ballongen omtrent 3,1 km.
