Pythagoras teorem: formel og øvelser

O Pythagoras teorem viser lengden på sidene til høyre trekant. Denne geometriske figuren er dannet av en indre vinkel på 90 °, kalt en rett vinkel.

Uttalelsen til denne teoremet er:

"Summen av kvadratene på bena dine tilsvarer kvadratet til hypotenusen din."

Pythagoras-teoremformel

I følge uttalelsen fra Pythagoras teorem er formelen representert som følger:

De² = b² + c²

Å være,

De: hypotenuse
B: cateto
ç: cateto

DE hypotenuse er den lengste siden av en rett trekant og siden motsatt rett vinkel. De to andre sidene er bena. Vinkelen som dannes av disse to sidene har et mål lik 90º (rett vinkel).

Vi identifiserte også bena, i henhold til en referansevinkel. Det vil si at siden kan kalles tilstøtende side eller motsatt side.

Når beinet er nær referansevinkelen, kalles det a ved siden avderimot, hvis det er mot denne vinkelen, kalles det motsatte.

Nedenfor er tre eksempler på anvendelser av Pythagoras teorem på de metriske forholdene til en rett trekant.

Eksempel 1: beregne målet på hypotenusen

Hvis en høyre trekant har 3 cm og 4 cm som mål på bena, hva er hypotenusen til denne trekanten?

Derfor er sidene til høyre trekant 3 cm, 4 cm og 5 cm.

Eksempel 2: beregne mål på et av bena

Bestem mål på et ben som er en del av en høyre trekant, hvis hypotenus er 20 cm og det andre beinet måler 16 cm.

Derfor er målene på sidene til høyre trekant 12 cm, 16 cm og 20 cm.

Eksempel 3: sjekk om en trekant er et rektangel

En trekant har sider som måler 5 cm, 12 cm og 13 cm. Hvordan vet du om det er en riktig trekant?

For å bevise at en rett trekant er sant, må målingene på sidene følge den pythagoriske teoremet.

Ettersom tiltakene som gis tilfredsstiller Pythagoras 'setning, dvs. at hypotenusens kvadrat er lik summen av kvadratet til bena, så kan vi si at trekanten er et rektangel.

Les også: Metriske forhold i rektangel-trekanten

Pythagoras trekant

Når måler sidene av en høyre trekant er positive heltall, kalles trekanten en pythagorasisk trekant.

I dette tilfellet blir bena og hypotenusen kalt “Pythagorean dress” eller “Pythagorean trio”. For å sjekke om tre tall danner en Pythagoras-trio, bruker vi forholdet til² = b² + c².

Den mest kjente Pythagoras-trioen er representert med tallene: 3, 4, 5. Hypotenusen er lik 5, det større benet er lik 4 og det mindre benet er lik 3.

Merk at arealet av rutene tegnet på hver side av trekanten er relatert akkurat som Pythagoras 'teorem: arealet av torget på langsiden tilsvarer summen av arealene til de to andre torget.

Interessant, multiplene av disse tallene danner også en pythagoreisk drakt. Hvis vi for eksempel multipliserer trioen 3, 4 og 5 med 3, får vi tallene 9, 12 og 15 som også danner en pythagoreisk drakt.

I tillegg til dress 3, 4 og 5, er det en mengde andre dresser. Som et eksempel kan vi nevne:

• 5, 12 og 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 og 29
• 12, 35 og 37

Les også: Trigonometri i rektangel-trekanten

Hvem var Pythagoras?

ifølge historien Pythagoras of Samos (570 a. Ç. - 495 a. C.) var en gresk filosof og matematiker som grunnla Pythagorean School, som ligger i Sør-Italia. Også kalt Pythagorean Society, inkluderte det studier i matematikk, astronomi og musikk.

Selv om de metriske forholdene til den rette trekanten allerede var kjent for babylonerne, som levde lenge før Pythagoras, det første beviset på at denne teoremet gjelder en hvilken som helst rett trekant antas å være laget av Pythagoras.

Pythagoras teorem er en av de mest kjente, viktigste og brukte teoremene i matematikk. Det er viktig for å løse problemer i analytisk geometri, plangeometri, romlig geometri og trigonometri.

I tillegg til teoremet, var andre viktige bidrag fra Pythagorean Society for Mathematics:

• Oppdagelse av irrasjonelle tall;
• Egenskaper for heltall;
• MMC og MDC.

Les også: Matematikkformler

Bevis for Pythagoras teorem

Det er flere måter å bevise Pythagoras 'setning. For eksempel boka Den pythagoriske proposisjonen, utgitt i 1927, presenterte 230 måter å demonstrere det på, og en annen utgave, utgitt i 1940, økte til 370 demonstrasjoner.

Se videoen nedenfor og sjekk ut noen demonstrasjoner av Pythagoras teorem.

Hvor mange måter er det å bevise den pythagoreiske teoremet? - Betty Fei

Kommenterte øvelser på Pythagoras teorem

Spørsmål 1

(PUC) Summen av kvadratene til de tre sidene av en høyre trekant er lik 32. Hvor lang er hypotenusen til trekanten?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Se Svar

Riktig alternativ: b) 4.

Fra informasjonen i uttalelsen vet vi at² + b² + c² = 32. På den annen side må vi ved Pythagoras-setningen² = b² + c² .

Erstatte verdien av b²+ c² ved² i det første uttrykket finner vi:

De² + den² =32 ⇒ 2. De² = 32 ⇒ til² = 32/2 ⇒ til² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

For flere spørsmål, se: Pythagoras-teorem - Øvelser

spørsmål 2

(Og enten)

I figuren ovenfor, som representerer utformingen av en trapp med 5 trinn av samme høyde, er den totale lengden på håndlisten lik:

a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8 m
e) 2,2m

Se Svar

Riktig alternativ: b) 2,1m.

Den totale lengden på håndløperen vil være lik summen av de to seksjonene av lengden lik 30 cm med snittet som vi ikke vet målet for.

Vi kan se fra figuren at den ukjente delen representerer hypotenusen til en høyre trekant, hvis mål på et av bena er lik 90 cm.

For å finne målet på det andre benet, må vi legge til lengden på de 5 trinnene. Derfor har vi b = 5. 24 = 120 cm.

For å beregne hypotenusen, la oss bruke Pythagoras 'setning på denne trekanten.

De² = 90² + 120² til² = 8100 + 14 400 ⇒ til² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Merk at vi kunne ha brukt ideen om Pythagoras-draktene for å beregne hypotenusen, siden bena (90 og 120) er multipler av 3, 4 og 5-drakten (multiplisert alle termer med 30).

På denne måten vil håndtakets totale mål være:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Test din kunnskap med Trigonometriøvelser

spørsmål 3

(UERJ) Millôr Fernandes, i en vakker hyllest til matematikk, skrev et dikt som vi trekker ut fragmentet nedenfor:

Til så mange ark i en matematikkbok,
en kvotient ble forelsket en dag vilt
av en ukjent.
Han så på henne med sitt utallige blikk
og han så henne fra topp til base: en merkelig figur;
romboide øyne, trapesformet munn,
rektangulær kropp, sfæroide bryster.
Gjorde livet ditt parallelt med hennes,
til de møttes i Infinity.
"Hvem er du?" - spurte han i radikal angst.
“Jeg er summen av kvadratene på beina.
Men du kan kalle meg hypotenuse.”

(Millôr Fernandes. Tretti år med meg selv.)

Incognita tok feil når hun sa hvem det var. For å møte Pythagoras-setningen, bør følgende gjøres

a) “Jeg er kvadratet av summen av bena. Men du kan kalle meg hypotenusetorget. ”
b) “Jeg er summen av bena. Men du kan kalle meg hypotenuse. ”
c) “Jeg er kvadratet av summen av bena. Men du kan kalle meg hypotenuse. ”
d) “Jeg er summen av kvadratene på bena. Men du kan kalle meg hypotenusetorget. ”

Se Svar

Alternativ d) “Jeg er summen av kvadratene på bena. Men du kan kalle meg hypotenusetorget. ”

Lær mer om emnet:

• likebent trekant
• Sinus, Cosine og Tangent
• Matematikk i Enem