Linjens ligning kan bestemmes ved å tegne den på det kartesiske planet (x, y). Når vi kjenner koordinatene til to forskjellige punkter som tilhører linjen, kan vi bestemme ligningen.
Det er også mulig å definere en ligning av den rette linjen basert på helning og koordinatene til et punkt som tilhører den.
Generell ligning av linjen
To punkter definerer en linje. På denne måten kan vi finne linjens generelle ligning ved å tilpasse to punkter med et generisk punkt (x, y) på linjen.
La punktene A (xDeyyDe) og B (xByyB), ikke tilfeldig og tilhører den kartesiske planen.
Tre punkter er justert når determinanten til matrisen assosiert med disse punktene er lik null. Så vi må beregne determinanten for følgende matrise:
Ved å utvikle determinanten finner vi følgende ligning:
(yDe -yB) x + (xB - xDe) y + xDeyB - xByDe = 0
La oss ringe:
a = (yDe -yB)
b = (xB - xDe)
c = xDeyB - xByDe
Den generelle ligningen til den rette linjen er definert som:
ax + av + c = 0
Hvor De, B og ç er konstante og De og B de kan ikke være null samtidig.
Eksempel
Finn en generell ligning av linjen som går gjennom punktene A (-1, 8) og B (-5, -1).
Først må vi skrive trepunktsjusteringsbetingelsen, definere matrisen som er knyttet til de gitte punktene og et generisk punkt P (x, y) som tilhører linjen.
Ved å utvikle determinanten finner vi:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Den generelle ligningen for linjen som går gjennom punkt A (-1,8) og B (-5, -1) er:
9x - 4y + 41 = 0
For å lære mer, les også:
- Hovedkvarter
- avgjørende faktor
- Laplaces teori
Linjeredusert ligning
Vinkelkoeffisient
Vi kan finne en ligning av linjen r å kjenne helling (retning), det vil si verdien av vinkelen θ som linjen presenterer i forhold til x-aksen.
For dette knytter vi et tall m, som kalles linjens skråning, slik at:
m = tg θ
bakken m det kan også bli funnet ved å kjenne to punkter som tilhører den rette linjen.
Som m = tg θ, så:
Eksempel
Bestem hellingen til linjen r som går gjennom punkt A (1,4) og B (2,3).
Å være,
x1 = 1 og y1 = 4
x2 = 2 og y2 = 3
Å kjenne linjens vinkelkoeffisient m og et punkt P0(x0yy0) som hører til den, kan vi definere dens ligning.
For dette vil vi erstatte det kjente punktet P i hellingsformelen.0 og et generisk punkt P (x, y), som også tilhører linjen:
Eksempel
Bestem en ligning av linjen som går gjennom punkt A (2,4) og har hellingen 3.
For å finne ligningen på linjen er det bare å erstatte de gitte verdiene:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
lineær koeffisient
den lineære koeffisienten Nei rett r er definert som punktet der linjen krysser y-aksen, det vil si koordinatpunktet P (0, n).
Ved å bruke dette punktet har vi:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Redusert linjeligning).
Eksempel
Å vite at ligningen til linjen r er gitt av y = x + 5, identifiser hellingen, hellingen og punktet der linjen krysser y-aksen.
Da vi har den reduserte ligningen på linjen, så:
m = 1
Hvor m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Skjæringspunktet for linjen med y-aksen er punktet P (0, n), der n = 5, da vil punktet være P (0,5)
Les også Beregning av skråning
Linjesegmentligning
Vi kan beregne hellingen ved hjelp av punktet A (a, 0) som linjen krysser x-aksen og punktet B (0, b) som krysser y-aksen:
Tatt i betraktning n = b og erstattet i redusert form, har vi:
Ved å dele alle medlemmene etter ab, finner vi linjens segmentligning:
Eksempel
Skriv, i segmentform, ligningen til den rette linjen som går gjennom punkt A (5.0) og har hellingen 2.
La oss først finne punktet B (0, b), som erstatter i skråningsuttrykket:
Ved å erstatte verdiene i ligningen har vi den linjeformede ligningen:
Les også om:
- Kartesisk plan
- Avstand mellom to punkter
- Conic
- rett
- Parallelle linjer
- Vinkelrette linjer
- Linjestykke
- Lineær funksjon
- Affine-funksjon
- Relaterte funksjonsøvelser
Løste øvelser
1) Gitt linjen som har ligningen 2x + 4y = 9, bestem helling.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Derfor m = - 1/2
2) Skriv ligningen for linjen 3x + 9y - 36 = 0 i redusert form.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
For en vitenskapsmesse bygges to rakettprosjektiler, A og B, som skal lanseres. Planen er at de skal lanseres sammen, med sikte på at prosjektil B fanger A når den når maksimal høyde. For at dette skal skje, vil et av prosjektilene beskrive en parabolsk bane, mens den andre vil beskrive en antatt rett bane. Grafen viser høydene når disse prosjektilene når som en funksjon av tid, i simuleringene som er utført.
Basert på disse simuleringene ble det observert at bane til prosjektil B skulle endres slik at
målet ble oppnådd.
For å nå målet, må vinkelkoeffisienten til linjen som representerer B-banen
a) reduser med 2 enheter.
b) reduser med 4 enheter.
c) øke med 2 enheter.
d) øke med 4 enheter.
e) øke med 8 enheter.
Først må vi finne den opprinnelige verdien av hellingen til linjen B.
Husker at m = tg Ɵ, har vi:
m1 = 12/6 = 2
For å passere gjennom det maksimale høydepunktet for banen til A, må hellingen til linjen B ha følgende verdi:
m2 = 16/4 = 4
Dermed vil hellingen til linjen B måtte endres fra 2 til 4, så vil den øke med 2 enheter.
Alternativ c: øk 2 enheter
Se også: Øvelser om analytisk geometri
