Eksponensiell funksjon: 5 kommenterte øvelser

DE eksponentiell funksjon er hver funksjon av ℝ i ℝ^*_+, definert av f (x) = a^x, hvor a er et reelt tall, større enn null og ikke lik 1.

Benytt deg av øvelsene som er kommentert for å fjerne all tvil om dette innholdet, og sørg for å sjekke din kunnskap i de løste spørsmålene til konkurranser.

Kommenterte øvelser

Øvelse 1

En gruppe biologer studerer utviklingen av en bestemt koloni av bakterier og fant at under ideelle forhold kan antall bakterier bli funnet ved uttrykket N (t) = 2000. 2^0,5t, å være t om timer.

Tatt i betraktning disse forholdene, hvor lenge etter observasjonsstart vil antallet bakterier være 8192000?

Løsning

I den foreslåtte situasjonen vet vi antall bakterier, det vil si at vi vet at N (t) = 8192000, og vi vil finne verdien av t. Så bare erstatt denne verdien i det gitte uttrykket:

For å løse denne ligningen, la oss skrive tallet 4096 i hovedfaktorer, for hvis vi har samme base, kan vi tilsvare eksponentene. Derfor har vi:

Dermed vil kulturen ha 8 192 000 bakterier etter 1 dag (24 timer) fra observasjonens start.

Øvelse 2

Radioaktive materialer har en naturlig tendens til å oppløse sin radioaktive masse over tid. Tiden det tar for halvparten av den radioaktive massen å gå i oppløsning kalles dens halveringstid.

Mengden radioaktivt materiale til et gitt element er gitt av:

Å være,

N (t): mengden radioaktivt materiale (i gram) på en gitt tid.
N₀: den opprinnelige mengden materiale (i gram)
T: halveringstid (i år)
t: tid (i år)

Tatt i betraktning at halveringstiden til dette elementet er lik 28 år, bestemme tiden det tar for det radioaktive materialet å redusere til 25% av dets opprinnelige mengde.

Løsning

For den foreslåtte situasjonen A (t) = 0,25 A.₀ = 1/4 A.₀, slik at vi kan skrive det gitte uttrykket, erstatte T med 28 år, så:

Derfor vil det ta 56 år før mengden radioaktivt materiale reduseres med 25%.

Konkurransespørsmål

1) Unesp - 2018

Ibuprofen er en foreskrevet medisin mot smerter og feber, med en halveringstid på ca. 2 timer. Dette betyr at for eksempel, etter 2 timer med inntak av 200 mg ibuprofen, vil bare 100 mg av medisinen være igjen i pasientens blodomløp. Etter ytterligere 2 timer (totalt 4 timer) vil bare 50 mg være igjen i blodet og så videre. Hvis en pasient får 800 mg ibuprofen hver 6. time, vil mengden av dette legemidlet som vil forbli i blodet i 14. time etter å ha tatt den første dosen være

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Se Svar

Ettersom den første mengden medisinering i blodet hver 2. time er delt i to, kan vi representere denne situasjonen ved hjelp av følgende skjema:

Merk at eksponenten, i hver situasjon, er lik tiden delt på 2. Dermed kan vi definere mengden medisiner i blodet som en funksjon av tiden ved å bruke følgende uttrykk:

Å være

Q (t): mengden i en gitt time
Spørsmål₀: det innledende beløpet
t: tid i timer

Tatt i betraktning at 800 mg ibuprofen ble tatt hver 6. time, så har vi:

For å finne mengden medisiner i blodet 14 timer etter inntak av første dose, må vi legge til mengdene som refererer til 1., 2. og 3. dose. Vi beregner disse mengdene:

Mengden av den første dosen vil bli funnet med tanke på tiden lik 14 timer, så vi har:

For den andre dosen, som vist i diagrammet ovenfor, var tiden 8 timer. Ved å erstatte denne verdien har vi:

Tiden for 3. dose vil være bare 2 timer. Mengden relatert til 3. dose vil da være:

Nå som vi vet mengdene for hver inntatt dose, kan vi finne den totale mengden ved å legge til hver av mengdene som er funnet:

Spørsmål_Total= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativ b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

En innsjø som ble brukt til å forsyne en by ble forurenset etter en industriulykke og nådde toksisitetsnivået T₀, tilsvarende ti ganger startnivået.
Les informasjonen nedenfor.

• Innsjøens naturlige strømning gjør at 50% av volumet kan fornys hver tiende dag.
• Toksisitetsnivået T (x), etter x dager etter ulykken, kan beregnes ved hjelp av følgende ligning:

Vurder D det minste antall dager med suspensjon av vannforsyningen, nødvendig for at toksisiteten skal komme tilbake til det opprinnelige nivået.
Hvis log 2 = 0,3, er verdien av D lik:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Se Svar

For å gå tilbake til det opprinnelige toksisitetsnivået er det nødvendig at:

Ved å erstatte denne verdien i den gitte funksjonen har vi:

Multiplikasjon i "kryss" blir ligningen:

2 ^0,1x= 10

La oss bruke basar 10 logaritmen på begge sider for å gjøre den om til en første grads ligning:

logg (2^0,1x) = logg 10

Når vi husker at loggen på 10 i base 10 er lik 1, vil ligningen vår se ut som:

0,1x logg 2 = 1

Tatt i betraktning at logg 2 = 0,3 og erstatter denne verdien i ligningen:

Dermed er det minste antallet dager, omtrent, at forsyningen skal stanses, 34 dager.

Alternativ c) 34

3) Fuvesp - 2018

La f: ℝ → ℝ og g: ℝ₊ → ℝ definert av

henholdsvis.

Grafen for den sammensatte funksjonen g_ºtro:

Se Svar

Grafen du leter etter er den sammensatte funksjonen g_ºDerfor er det første trinnet å bestemme denne funksjonen. For dette må vi erstatte funksjonen f (x) i x av funksjonen g (x). Ved å foreta denne erstatningen vil vi finne:

Ved å bruke logaritmeegenskapen til kvotienten og en kraft har vi:

Merk at funksjonen som er funnet ovenfor er av typen ax + b, som er en affin funksjon. Så grafen din vil være en rett linje.

Dessuten er hellingen a lik loggen₁₀ 5, som er et positivt tall, så grafen øker. På denne måten kan vi eliminere alternativene b, c og e.

Vi sitter igjen med alternativene a og d, men når x = 0 har vi gof = - logg₁₀ 2 som er en negativ verdi som representert i graf a.

Alternativ a)

4) Unicamp - 2014

Grafen nedenfor viser den biotiske potensialkurven q (t) for en populasjon av mikroorganismer over tid t.

Siden a og b er reelle konstanter, er funksjonen som kan representere dette potensialet

a) q (t) = ved + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = kl² + bt
d) q (t) = a + logg _B t

Se Svar

Fra grafen som vises, kan vi identifisere at når t = 0, er funksjonen lik 1000. Videre er det også mulig å observere at funksjonen ikke er affin, da grafen ikke er en rett linje.

Hvis funksjonen var av typen q (t) = at²+ bt, når t = 0, vil resultatet være lik null og ikke 1000. Så det er heller ikke en kvadratisk funksjon.

Hvordan logge_B0 er ikke definert, og den kan heller ikke ha funksjonen q (t) = a + log_Bt.

Dermed vil det eneste alternativet være funksjonen q (t) = ab^t. Tatt i betraktning t = 0, vil funksjonen være q (t) = a, da a er en konstant verdi, er det nok at den er lik 1000 for at funksjonen skal passe til den gitte grafen.

Alternativ b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Arbeiderforeningen i et selskap foreslår at lønnsetasjen i klassen er R $ 1800,00, og foreslår en fast prosentvis økning for hvert år dedikert til arbeid. Uttrykket som tilsvarer lønnsforslaget (e), som en funksjon av tjenestelengden (t), i år, er s (t) = 1800. (1,03)^t .

I følge fagforeningens forslag vil lønnen til en profesjonell fra dette selskapet med to års tjeneste være, i reais,

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3,709,62
d) 3.708,00
e) 1 909,62.

Se Svar

Uttrykket for å beregne lønnen som en funksjon av tiden foreslått av fagforeningen tilsvarer en eksponentiell funksjon.

For å finne lønnsverdien i den angitte situasjonen, la oss beregne verdien av s, når t = 2, som angitt nedenfor:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativ e) 1 909,62

Les også:

• Eksponensiell funksjon
• Logaritme
• Logaritme - Øvelser
• Logaritmeegenskaper
• Potensiering
• potensieringsøvelser
• Affine-funksjon
• Lineær funksjon
• Relaterte funksjonsøvelser
• Kvadratisk funksjon
• Kvadratisk funksjon - Øvelser
• Matematikkformler