Det flate figurområdet representerer omfanget av figurens forlengelse i planet. Som flate figurer kan vi nevne trekanten, rektangelet, romben, trapesen, sirkelen, blant andre.
Bruk spørsmålene nedenfor for å sjekke kunnskapen din om dette viktige emnet geometri.
Konkurranseproblemer løst
Spørsmål 1
(Cefet / MG - 2016) Det firkantede området til et område må deles i fire like store deler, også firkantede, og, i en av dem må en innfødt skogreservat (klekket område) opprettholdes, som vist i figur a Følg.
Å vite at B er midtpunktet til segment AE og C er midtpunktet til segment EF, det skraverte området, i m2, gi meg
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Riktig alternativ: c) 1562.5.
Når vi observerer figuren, merker vi at det skraverte området tilsvarer arealet av torget med en side 50 m minus arealet til trekantene BEC og CFD.
Målingen av siden BE, av trekanten BEC, er lik 25 m, ettersom punkt B deler siden i to kongruente segmenter (midtpunktet i segmentet).
Det samme skjer med sidene EC og CF, det vil si at målene deres også er lik 25 m, siden punkt C er midtpunktet til segment EF.
Dermed kan vi beregne arealet av trekanter BEC og CFD. Med tanke på to sider kjent som basen, vil den andre siden være lik høyden, siden trekanter er rektangler.
Beregning av arealet av firkanten og trekanter BEC og CFD har vi:
Derfor er det klekkede området, i m2, måler 1562,5.
spørsmål 2
(Cefet / RJ - 2017) Et kvadrat med en x-side og en ensidig trekant med en y-side har områder av samme mål. Dermed kan det sies at x / y-forholdet er lik:
Riktig alternativ: .
Informasjonen gitt i problemet er at områdene er de samme, det vil si:
Området i trekanten blir funnet ved å multiplisere grunnmålingen med høydemålingen og dele resultatet med 2. Siden trekanten er ligesidig og siden er lik y, blir høydeverdien gitt av:
Derfor kan det sies at x / y-forholdet er lik .
spørsmål 3
(IFSP - 2016) Et offentlig torg i form av en sirkel har en radius på 18 meter. I lys av ovennevnte merker du alternativet som presenterer området ditt.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1 589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1 710,34 m2
Riktig alternativ: a) 1017, 36 m2.
For å finne arealet av firkanten må vi bruke formelen for sirkelområdet:
A = π.R2
Ved å erstatte radiusverdien og vurderer π = 3.14, finner vi:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1017, 36 m2
Derfor er kvadratarealet 1017, 36 m2.
spørsmål 4
(IFRS - 2016) Et rektangel har dimensjonene x og y, som uttrykkes av x-ligningene2 = 12 og (y - 1)2 = 3.
Omkretsen og arealet til dette rektangelet er henholdsvis
a) 6√3 + 2 og 2 + 6√3
b) 6√3 og 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 og 12
d) 6 og 2√3
e) 6√3 + 2 og 2√3 + 6
Riktig alternativ: e) 6√3 + 2 og 2√3 + 6.
La oss først løse ligningene for å finne verdiene til x og y:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Rektanglets omkrets vil være lik summen av alle sider:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
For å finne området må du bare multiplisere x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Derfor er omkretsen og arealet til rektangelet henholdsvis 6√3 + 2 og 2√3 + 6.
spørsmål 5
(Apprentice Sailor - 2016) Analyser følgende figur:
Å vite at EP er radiusen til den midtre halvcirkelen i E, som vist i figuren ovenfor, bestemme verdien for det mørkeste området og sjekk riktig alternativ. Data: nummer π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Riktig alternativ: b) 12 cm2.
Det mørkeste området er funnet ved å legge området til halvcirkel til området til trekanten ABD. La oss starte med å beregne arealet av trekanten, og merk det for at trekanten er et rektangel.
La oss ringe AD-siden av x og beregne dens mål ved hjelp av Pythagoras teorem, som angitt nedenfor:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Når vi kjenner AD-sidemålet, kan vi beregne arealet av trekanten:
Vi må fremdeles beregne arealet av halvomkretsen. Merk at radien vil være lik halvparten av målingen på AD-siden, så r = 2 cm. Halvkretsområdet vil være lik:
Det mørkeste området finner du ved å gjøre: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Derfor er verdien på det mørkeste området 12 cm2.
spørsmål 6
(Enem - 2016) En mann, far til to barn, ønsker å kjøpe to tomter, med områder av samme mål, en for hvert barn. Et av de besøkte landene er allerede avgrenset, og selv om det ikke har et konvensjonelt format (som vist i figur B), gledet det den eldste sønnen og ble derfor kjøpt. Den yngste sønnen har et arkitektonisk prosjekt for et hus han vil bygge, men for å gjøre det trenger han av et terreng i rektangulær form (som vist i figur A) hvis lengde er 7 m lengre enn bredde.
For å tilfredsstille den yngste sønnen, trenger denne herren å finne et rektangulært land hvis mål, i meter, i lengde og i bredde, er like, henholdsvis
a) 7,5 og 14,5
b) 9,0 og 16,0
c) 9.3 og 16.3
d) 10,0 og 17,0
e) 13,5 og 20,5
Riktig alternativ: b) 9.0 og 16.0.
Siden området i figur A er lik området i figur B, la oss først beregne dette området. For dette, la oss dele figur B, som vist på bildet nedenfor:
Merk at når vi deler figuren, har vi to rette trekanter. Derfor vil arealet i figur B være lik summen av arealene til disse trekantene. Vi beregner disse områdene:
Siden figur A er et rektangel, blir området funnet ved å gjøre:
DEDE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Ved å ligne området på figur A med verdien som er funnet for området i figur B, finner vi:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
La oss løse 2. grads ligning ved hjelp av Bhaskaras formel:
Ettersom et mål ikke kan være negativt, la oss bare vurdere verdien lik 9. Derfor vil bredden på landet i figur A være lik 9 m og lengden vil være lik 16 m (9 + 7).
Derfor må lengde- og breddemålingene være lik henholdsvis 9,0 og 16,0.
spørsmål 7
(Enem - 2015) Et mobiltelefonselskap har to antenner som vil bli erstattet av en ny, kraftigere. Dekningsområdene til antennene som skal byttes ut er sirkler med en radius på 2 km, hvis omkrets er tangent til punkt O, som vist i figuren.
Punkt O indikerer posisjonen til den nye antennen, og dens dekningsområde vil være en sirkel hvis omkrets eksternt vil tangere omkretsene til de mindre dekningsområdene. Med installasjonen av den nye antennen ble målingen av dekningsområdet, i kvadratkilometer, utvidet med
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Riktig alternativ: a) 8 π.
Forstørrelsen av måling av dekningsområdet vil bli funnet ved å redusere områdene til de mindre sirkler i den større sirkelen (refererer til den nye antennen).
Ettersom omkretsen av det nye dekningsområdet berører de mindre omkretsene eksternt, vil radiusen være lik 4 km, som vist i figuren nedenfor:
La oss beregne områdene A.1 og2 av de mindre sirkler og område A.3 fra den større sirkelen:
DE1 = A2 = 22. π = 4 π
DE3 = 42.π = 16 π
Målingen av det forstørrede området vil bli funnet ved å gjøre:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Derfor, med installasjonen av den nye antennen, ble dekningsarealet, i kvadratkilometer, økt med 8 π.
spørsmål 8
(Enem - 2015) Diagram I viser konfigurasjonen til en basketballbane. De grå trapesene, kalt carboys, tilsvarer begrensede områder.
Målet er å oppfylle retningslinjene til sentralkomiteen for det internasjonale basketballforbundet (Fiba) i 2010, som samlet merkingen av de forskjellige legeringene, ble det forutsett en modifisering i domstolene, som ville bli rektangler, som vist i ordningen II.
Etter å ha utført de planlagte endringene, skjedde det en endring i området okkupert av hver bilgutt, som tilsvarer en (a)
a) økning på 5800 cm2.
b) 75 400 cm økning2.
c) økning på 214600 cm2.
d) reduksjon på 63 800 cm2.
e) reduksjon på 272600 cm2.
Riktig alternativ: a) økning på 5800 cm².
For å finne ut hva endringen i det okkuperte området var, la oss beregne området før og etter endringen.
I beregningen av skjema I vil vi bruke formelen for trapesområdet. I diagram II vil vi bruke formelen for rektangelområdet.
Arealendringen blir da:
A = A.II - AJeg
A = 284 200 - 278400 = 5800 cm2
Derfor, etter å ha utført de planlagte modifikasjonene, skjedde det en endring i området okkupert av hver karboy, som tilsvarer en økning på 5800 cm².
Foreslåtte øvelser (med oppløsning)
spørsmål 9
Ana bestemte seg for å bygge et rektangulært basseng i huset sitt som var 8 meter langt og 5 meter høyt. Rundt den, formet som en trapes, var den fylt med gress.
Å vite at trapesen er 11 m og basene er 20 m og 14 m, hva er arealet til den delen som var fylt med gress?
a) 294 moh2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 moh2
Riktig alternativ: c) 147 m2.
Når rektangelet, som representerer bassenget, settes inn i en større figur, trapesen, la oss begynne med å beregne arealet til den eksterne figuren.
Trapesområdet blir beregnet med formelen:
Hvor,
B er mål på den største basen;
b er mål på den minste basen;
h er høyden.
Ved å erstatte utsagnsdataene i formelen har vi:
La oss nå beregne rektangelens område. For det trenger vi bare å multiplisere basen med høyden.
For å finne området dekket av gress, må vi trekke plassen opptatt av bassenget fra trapesområdet.
Derfor var arealet fylt med gress 147 m2.
Se også: Trapesområde
spørsmål 10
For å renovere taket på lageret hans, bestemte Carlos seg for å kjøpe kolonialfliser. Ved bruk av denne typen tak trengs 20 stykker for hver kvadratmeter tak.
Hvis taket på stedet er dannet av to rektangulære plater, som i figuren ovenfor, hvor mange fliser trenger Carlos å kjøpe?
a) 12000 fliser
b) 16000 fliser
c) 18000 fliser
d) 9600 fliser
Riktig alternativ: b) 16000 fliser.
Lagerdekselet er laget av to rektangulære plater. Derfor må vi beregne arealet til et rektangel og multiplisere med 2.
Derfor er det totale takarealet 800 m.2. Hvis hver kvadratmeter krever 20 fliser, beregner vi med en enkel regel på tre hvor mange fliser som fyller taket på hvert lager.
Derfor vil det være nødvendig å kjøpe 16 tusen fliser.
Se også: Rektangelområde
spørsmål 11
Marcia vil at to identiske trevaser skal dekorere inngangen til huset hennes. Fordi hun bare kunne kjøpe en av favorittene sine, bestemte hun seg for å ansette en møbelsnekker for å bygge en annen vase med samme dimensjoner. Vasen må ha fire sider i en likbenet trapesform og bunnen er en firkant.
Uten å ta hensyn til tykkelsen på treet, hvor mange kvadratmeter tre trenger du for å reprodusere stykket?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Riktig alternativ: d) 0,3121 m2.
En likebenet trapes er typen som har like sider og forskjellige størrelser. Fra bildet har vi følgende målinger av trapezius på hver side av fartøyet:
Mindre fot (b): 19 cm;
Større sokkel (B): 27 cm;
Høyde (h): 30 cm.
Med verdiene i hånden beregner vi trapesområdet:
Siden fartøyet er dannet av fire trapeser, må vi multiplisere området som er funnet med fire.
Nå må vi beregne basen til vasen, som er dannet av en 19 cm firkant.
Når vi legger til de beregnede arealene, kommer vi til det totale arealet av tre som skal brukes til å bygge.
Området må imidlertid presenteres i kvadratmeter.
Derfor, uten å ta hensyn til tykkelsen på treet, var det 0,3121 m nødvendig2 av materiale for å produsere vasen.
Se også: Firkantet område
spørsmål 12
For å lette beregningen av hvor mange som deltar i offentlige arrangementer, anses det generelt at en kvadratmeter er okkupert av fire personer.
For å feire jubileet for en by hyret bystyret et band til å spille på torget i sentrum, som har et areal på 4000 m2. Å vite at torget var fullpakket, omtrent hvor mange mennesker deltok på arrangementet?
a) 16 tusen mennesker.
b) 32 tusen mennesker.
c) 12 tusen mennesker.
d) 40 tusen mennesker.
Riktig alternativ: a) 16 tusen mennesker.
Et kvadrat har fire like sider og har arealet beregnet med formelen: A = L x L.
hvis i 1 m2 det er okkupert av fire personer, så 4 ganger kvadratets totale areal gir oss anslaget til folk som deltok på arrangementet.
Dermed deltok 16 tusen mennesker i arrangementet som ble fremmet av rådhuset.
For å lære mer, se også:
- Flate figurområder
- Geometriske former
- Pythagoras-teorem - Øvelser
