Pythagoras teorem: Løste og kommenterte øvelser

Pythagoras 'setning indikerer at det kvadratiske hypotenusemålet i en rett trekant er lik summen av kvadratene til benmålene.

Dra nytte av de løste og kommenterte øvelsene for å svare på all tvil om dette viktige innholdet.

Foreslåtte øvelser (med oppløsning)

Spørsmål 1

Carlos og Ana dro hjemmefra for å jobbe fra samme punkt, garasjen til bygningen der de bor. Etter 1 min, etter en vinkelrett sti, var de 13 m fra hverandre.

Hvis Carlos 'bil reiste 7 m mer enn Ana i løpet av den tiden, hvor langt var de da fra garasjen?

a) Carlos var 10 m fra garasjen og Ana var 5 m.
b) Carlos var 14 m fra garasjen og Ana var 7 m.
c) Carlos var 12 m fra garasjen og Ana var 5 m.
d) Carlos var 13 m fra garasjen og Ana var 6 m.

Se Svar

Riktig svar: c) Carlos var 12 m fra garasjen og Ana var 5 m.

Sidene til høyre trekant dannet i dette spørsmålet er:

• hypotenuse: 13 m
• større ben: 7 + x
• kortere ben: x

Ved å bruke verdiene i Pythagoras 'setning har vi:

Nå bruker vi Bhaskaras formel for å finne verdien av x.

Siden det er et mål på lengden, må vi bruke den positive verdien. Derfor er sidene til den rette trekanten dannet i dette spørsmålet:

• hypotenuse: 13 m
• lengre etappe: 7 + 5 = 12 m
• kortere ben: x = 5 m

Dermed var Ana 5 meter fra garasjen og Carlos 12 meter unna.

spørsmål 2

Da Carla lette etter kattungen, så han ham på toppen av et tre. Hun spurte moren om hjelp, og de plasserte en stige ved treet for å hjelpe katten ned.

Å vite at katten var 8 meter fra bakken og stigenes bunn var plassert 6 meter fra treet, hvor lenge ble stigen brukt til å redde kattungen?

a) 8 meter.
b) 10 meter.
c) 12 meter.
d) 14 meter.

Se Svar

Riktig svar: b) 10 meter.

Merk at høyden katten er i og avstanden bunnen av stigen har blitt plassert, danner en rett vinkel, det vil si en 90-graders vinkel. Når stigen er plassert motsatt rett vinkel, tilsvarer lengden hypotenusen til den rette trekanten.

Ved å bruke verdiene gitt i Pythagoras 'setning oppdager vi verdien av hypotenusen.

Derfor er stigen 10 meter lang.

spørsmål 3

I henhold til tiltakene som er presentert i alternativene nedenfor, hvilke presenterer verdiene til en rett trekant?

a) 14 cm, 18 cm og 24 cm
b) 21 cm, 28 cm og 32 cm
c) 13 cm, 14 cm og 17 cm
d) 12 cm, 16 cm og 20 cm

Se Svar

Riktig svar: d) 12 cm, 16 cm og 20 cm.

For å finne ut om tiltakene som presenteres danner en rett trekant, må vi bruke Pythagoras teorem på hvert alternativ.

a) 14 cm, 18 cm og 24 cm

b) 21 cm, 28 cm og 32 cm

c) 13 cm, 14 cm og 17 cm

d) 12 cm, 16 cm og 20 cm

Derfor tilsvarer målingene 12 cm, 16 cm og 20 cm sidene til en høyre trekant, da kvadratet til hypotenusen, den lengste siden, er lik summen av kvadratet på bena.

spørsmål 4

Legg merke til følgende geometriske figurer, som har den ene siden i hypotenusen til en høyre trekant som måler 3 m, 4 m og 5 m.

Finn høyden (h) til den liksidige trekanten BCD og den diagonale verdien (d) av kvadratet BCFG.

a) h = 4,33 m og d = 7,07 m
b) h = 4,72 m og d = 8,20 m
c) h = 4,45 m og d = 7,61 m
d) h = 4,99 m og d = 8,53 m

Se Svar

Riktig svar: a) h = 4,33 m og d = 7,07 m.

Ettersom trekanten er ensidig, betyr det at de tre sidene har samme mål. Ved å tegne en linje som tilsvarer høyden på trekanten, deler vi den i to høyre trekanter.

Det samme gjelder torget. Når vi tegner den diagonale linjen, kan vi se to rette trekanter.

Ved å bruke dataene fra uttalelsen i Pythagoras 'setning, oppdager vi verdiene som følger:

1. Beregning av høyden på trekanten (høyre trekantben):

Vi kommer da til formelen for å beregne høyden. Nå er det bare å erstatte verdien på L og beregne den.

2. Beregning av kvadratets diagonal (hypotenus av høyre trekant):

Derfor er høyden på den ligesidige trekanten BCD 4,33 og den diagonale verdien av firkanten BCFG er 7,07.

Se også: Pythagoras teorem

Problemer med opptakseksamen løst

spørsmål 5

(Cefet / MG - 2016) En drage, hvis figur er vist nedenfor, ble bygget i ABCDs firkantede format, som og . pinnen av dragen skjærer stangen ved midtpunktet E, og danner en rett vinkel. Ved konstruksjonen av denne dragen måler tiltakene for brukt er henholdsvis 25 cm og 20 cm, og målingen av er lik av tiltaket av .

Under disse forholdene er målingen på , i cm, er lik

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Se Svar

Riktig alternativ: c) 55.

Ser vi på figuren i spørsmålet, ser vi at DE-segmentet, som vi ønsker å finne, er det samme som BD-segmentet ved å trekke BE-segmentet.

Så som vi vet at BE-segmentet er lik 20 cm, må vi finne verdien av BD-segmentet.

Merk at problemet gir oss følgende informasjon:

Så for å finne målet på BD, må vi vite verdien av segmentet AC.

Siden punkt E deler segmentet i to like deler (midtpunkt), da . Derfor er det første trinnet å finne CE-segmentmål.

For å finne CE-målingen, identifiserte vi at trekanten BCE er et rektangel, at BC er hypotenusen og BE og CE er bena, som vist på bildet nedenfor:

Vi vil deretter bruke Pythagoras 'setning for å finne målet på beinet.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = √225
x = 15 cm

For å finne kragen kunne vi også ha observert at trekanten er pythagorean, det vil si at målene på sidene er flere tall av målingene i trekanten 3, 4, 5.

Således, når vi multipliserer 4 med 5, har vi verdien av kragen (20), og hvis vi multipliserer 5 med 5, har vi hypotenusen (25). Derfor kunne det andre benet bare være 15 (5. 3).

Nå som vi har funnet EC-verdien, kan vi finne de andre tiltakene:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Derfor er målet for er lik 55 cm.

Se også: Pythagoras

spørsmål 6

(IFRS - 2017) Vurder en liksidig trekant med en 5√3 ܿ݉ side. Hva er høyden og arealet til henholdsvis denne trekanten?

Se Svar

Riktig alternativ: e) 7,5 cm og 75√3 / 4 cm²

La oss først tegne den ligesidige trekanten og tegne høyden, som vist på bildet nedenfor:

Legg merke til at høyden deler basen i to segmenter av samme mål, ettersom trekanten er ensidig. Vær også oppmerksom på at trekanten ACD i figuren er en høyre trekant.

For å finne høydemålet, vil vi således bruke den pythagoreiske teoremet:

Når vi kjenner høydemålingen, kan vi finne området gjennom formelen:

spørsmål 7

(IFRS - 2016) I figuren nedenfor er verdien på henholdsvis x og y

Se Svar

Riktig alternativ: a) 4√2 og √97.

For å finne verdien av x, la oss bruke Pythagoras 'setning på høyre trekant som har sider som er lik 4 cm.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

For å finne verdien av y, vil vi også bruke Pythagoras 'setning, nå med tanke på at det ene beinet måler 4 cm og det andre 9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Derfor er verdien på henholdsvis x og y 4√2 og √97.

spørsmål 8

(Apprentice Sailor - 2017) Se på figuren nedenfor.

I figuren over er det en likestilt trekant ACD, der segmentet AB måler 3 cm, den ulike siden AD måler 10√2 cm, og segmentene AC og CD er vinkelrett. Derfor er det riktig å si at BD-segmentet måler:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Se Svar

Riktig alternativ: d) √149 cm

Med tanke på informasjonen som presenteres i problemet, bygger vi figuren nedenfor:

I følge figuren finner vi at for å finne verdien av x, vil det være nødvendig å finne målet på siden vi kaller a.

Siden trekanten ACD er et rektangel, vil vi bruke Pythagoras 'setning for å finne verdien av beinet a.

Nå som vi vet verdien av a, kan vi finne verdien av x ved å vurdere den rette trekanten BCD.

Legg merke til at beinet BC er lik måling av beinet minus 3 cm, det vil si 10 - 3 = 7 cm. Ved å bruke Pythagoras 'setning på denne trekanten har vi:

Derfor er det riktig å si at BD-segmentet måler √149 cm.

spørsmål 9

(IFRJ - 2013) Idrettsplassen til Arrozal Campus til et føderalt institutt er rektangulær, 100 m lang og 50 m bred, representert av ABCD-rektangelet i denne figuren.

Alberto og Bruno er to studenter som driver med sport på gårdsplassen. Alberto går fra punkt A til punkt C langs diagonalen på rektangelet og returnerer til startpunktet langs samme sti. Bruno starter fra punkt B, går rundt gårdsplassen helt, går langs sidelinjene, og returnerer til startpunktet. Dermed, med tanke på √5 = 2.24, blir det uttalt at Bruno gikk mer enn Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Se Svar

Riktig alternativ: c) 76 m.

Rektanglets diagonale deler den i to høyre trekanter, hypotenusen er diagonalen og sidene er like sidene av rektangelet.

Så, for å beregne det diagonale målet, la oss bruke Pythagoras teorem:

Mens Alberto gikk og kom tilbake, så dekket han 224 m.

Bruno tilbakelegget en avstand lik omkretsen av rektangelet, med andre ord:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Derfor gikk Bruno 76 m lenger enn Alberto (300 - 112 = 76 m).

spørsmål 10

(Enem - 2017) For å dekorere et festbord for barn, vil en kokk bruke en sfærisk melon med en diameter på 10 cm, som vil tjene som en støtte for å spisse forskjellige søtsaker. Det vil fjerne en sfærisk hjeltekapsel fra melonen, som vist på figuren, og for å sikre stabiliteten til denne støtten, som gjør det vanskelig for melonen å rulle på bordet, vil sjefen kutte slik at radien r på den sirkulære kuttdelen er hårete. minus 3 cm. På den annen side vil kokken ønske å ha et størst mulig område i regionen hvor søtsaker blir fikset.

For å nå alle målene må sjefen kutte melonhetten i en høyde h, i centimeter, lik

Se Svar

Riktig alternativ: c) 1

Ved å observere figuren som ble presentert i spørsmålet, identifiserte vi at høyden h kan bli funnet ved å redusere målingen på segmentet OA fra målingen på sfærens radius (R).

Sfærens radius (R) er lik halvparten av diameteren, som i dette tilfellet er lik 5 cm (10: 2 = 5).

Så vi må finne verdien av OA-segmentet. For dette vil vi vurdere trekanten OAB representert i figuren nedenfor og anvende den pythagoreiske teoremet.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Vi kunne også finne verdien av x direkte, og la merke til at det er den pythagoreiske trekanten 3,4 og 5.

Så verdien av h vil være lik:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Derfor bør kokken skjære melonhetten i en høyde på 1 cm.

spørsmål 11

(Enem - 2016 - 2. søknad) Boccia er en sport som spilles på baner, som er flatt og jevnt terreng, begrenset av perifere treplattformer. Målet med denne sporten er å kaste boller, som er baller laget av syntetisk materiale, for å plasser dem så nær bolim som muligens, en mindre kule, helst laget av stål, tidligere lanserte. Figur 1 illustrerer en boccia-ball og en bolim som ble spilt på en bane. Anta at en spiller har kastet en ball, med en radius på 5 cm, som har lent seg mot bolim, med en radius på 2 cm, som vist i figur 2.

Betrakt punkt C som midten av ballen, og punkt O som midten av ballen. Det er kjent at A og B er punktene der henholdsvis boccia-ballen og bollinen berører bakken på banen, og at avstanden mellom A og B er lik d. Hva er forholdet mellom d og bolimens radius under disse forholdene?

Se Svar

Riktig alternativ: e) √10

For å beregne verdien av avstanden d mellom punktene A og B, la oss bygge en figur som forbinder sentrene til de to kulene, som vist nedenfor:

Merk at den blå prikkete figuren er formet som en trapes. La oss dele denne trapesen, som vist nedenfor:

Ved å dele trapesen får vi et rektangel og en rett trekant. Hypotenusen til trekanten er lik summen av boccia-ballens radius med bolimens radius, det vil si 5 + 2 = 7 cm.

Målingen på et av bena er lik d og målingen på det andre benet er lik målingen av segmentet CA, som er radiusen på boccia-kulen minus radiusen på bolim (5 - 2 = 3) .

På denne måten kan vi finne målet på d, ved å bruke Pythagoras teorem på denne trekanten, det vil si:

7² = 3² - av²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Derfor vil forholdet mellom avstanden d og bolim bli gitt av:.

spørsmål 12

(Enem - 2014) Daglig forbruker en bolig 20 160 Wh. Denne boligen har 100 solceller rektangulær (enheter som kan omdanne sollys til elektrisk energi) som måler 6 cm x 8 cm. Hver slik celle produserer 24 Wh per centimeter diagonalt gjennom dagen. Eieren av dette huset ønsker å produsere, per dag, nøyaktig samme mengde energi som huset hans bruker. Hva skal denne eieren gjøre for at han skal nå sitt mål?

a) Fjern 16 celler.
b) Fjern 40 celler.
c) Legg til 5 celler.
d) Legg til 20 celler.
e) Legg til 40 celler.

Se Svar

Riktig alternativ: a) Fjern 16 celler.

Først må du finne ut hva energiuttaket til hver celle er. For det må vi finne målet på rektangelens diagonale.

Diagonalen er lik hypotenusen i trekanten med ben lik 8 cm og 6 cm. Vi vil deretter beregne diagonalen ved å anvende den pythagoreiske teoremet.

Imidlertid observerer vi at trekanten det er snakk om er Pythagoras, og er et multiplum av trekanten 3,4 og 5.

På denne måten vil målingen av hypotenusen være lik 10 cm, siden sidene til den pythagoranske trekanten 3,4 og 5 multipliseres med 2.

Nå som vi vet den diagonale målingen, kan vi beregne energien som produseres av de 100 cellene, dvs.

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Ettersom energiforbruket er lik 20 160 Wh, må vi redusere antall celler. For å finne dette nummeret vil vi gjøre:

24 000 - 20 160 = 3840 Wh

Når vi deler denne verdien med energien som produseres av en celle, finner vi tallet som skal reduseres, det vil si:

3 840: 240 = 16 celler

Derfor bør eierens handling for at han skal nå sitt mål være å fjerne 16 celler.

For å lære mer, se også: Trigonometriøvelser