To forskjellige linjer som er i samme plan er samtidig når de har et enkelt punkt til felles.
De samtidige linjene danner fire vinkler til hverandre, og i henhold til målingene av disse vinklene kan de være vinkelrett eller skrå.
Når de fire vinklene som er dannet av dem er lik 90º, kalles de vinkelrett.
I figuren under linjene r og s er vinkelrett.
Hvis de dannede vinklene er forskjellige fra 90 °, kalles de skrå konkurrenter. I figuren nedenfor representerer vi linjene u og v obliques.
Konkurrerende, sammenfallende og parallelle linjer
To linjer som tilhører samme plan kan være samtidig, sammenfallende eller parallelle.
Mens de samtidige linjene har et enkelt skjæringspunkt, har de sammenfallende linjene minst to punkter felles og parallelle linjer de har ingen felles poeng.
Relativ posisjon av to rette
Når vi kjenner ligningene til to linjer, kan vi verifisere deres relative posisjoner. For dette må vi løse systemet dannet av ligningene til de to linjene. Så vi har:
- Samtidige linjer: systemet er mulig og bestemt (et felles punkt til felles).
- Sammenfallende linjer: systemet er mulig og bestemt (uendelig punkt til felles).
- Parallelle linjer: systemet er umulig (ingen vanlige punkter).
Eksempel:
Bestem den relative posisjonen mellom linjen r: x - 2y - 5 = 0 og linjen s: 2x - 4y - 2 = 0.
Løsning:
For å finne den relative posisjonen mellom de gitte linjene, må vi beregne ligningssystemet dannet av linjene deres, så vi har:
Når vi løser systemet ved tilsetning, finner vi følgende ligning 0y = - 8, da det ikke er noen løsning for denne ligningen, er det umulig. På denne måten er de to linjene parallelle.
Opposite Angles av Vertex
To konkurrerende linjer danner to par vinkler. Disse vinklene har et felles punkt som kalles toppunkt.
Parene med vinkler som er motsatt av toppunktet er kongruente, det vil si at de har samme måling.
I figuren nedenfor representerer vi vinklene AÔB og CÔD som er motsatt av toppunktet, så vel som vinklene AÔC og BÔD.
Skjæringspunkt mellom to samtidige rette linjer
Skjæringspunktet mellom to samtidige linjer tilhører ligningene til de to linjene. På denne måten kan vi finne koordinatene til dette punktet til felles, løse systemet dannet av ligningene til disse linjene.
Eksempel:
Bestem koordinatene til et punkt P som er felles for linjene r og s, hvis ligninger er henholdsvis x + 3y + 4 = 0 og 2x - 5y - 2 = 0.
Løsning:
For å finne koordinatene til punktet, må vi løse systemet med de gitte ligningene. Så vi har:
Å løse systemet har vi:
Ved å erstatte denne verdien i den første ligningen finner vi:
Derfor er koordinatene til skjæringspunktet , dvs
.
Lær mer ved å lese:
- Vinkelrette linjer
- rett
- konisk
Løste øvelser
1) I et ortogonalt aksesystem er - 2x + y + 5 = 0 og 2x + 5y - 11 = 0 henholdsvis ligningene til linjene r og s. Finn koordinatene til skjæringspunktet for r og s.
P (3, 1)
2) Hva er koordinatene til toppunktene til en trekant, vel vitende om at ligningene til støttelinjene på sidene er - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 og 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Bestem den relative posisjonen til linjene r: 3x - y -10 = 0 og 2x + 5y - 1 = 0.
De rette linjene er samtidig, og er skjæringspunktet (3, - 1).
