Avstand mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter er målingen på linjesegmentet som forbinder dem.

Vi kan beregne dette tiltaket ved hjelp av analytisk geometri.

Avstand mellom to punkter på flyet

I flyet bestemmes et punkt fullt ut ved å kjenne et ordnet par (x, y) assosiert med det.

For å vite avstanden mellom to punkter, vil vi først representere dem i det kartesiske planet, og deretter beregne denne avstanden.

Eksempler:

1) Hva er avstanden mellom punkt A (1.1) og punkt B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Hva er avstanden mellom punkt A (4.1) og punkt B (1,3)?

Merk at avstanden mellom punkt A og punkt B er lik hypotenusen til høyre trekant med ben 2 og 3.

Så, vi vil bruke Pythagoras teorem for å beregne avstanden mellom de gitte punktene.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Formel for avstand mellom to punkter på flyet

For å finne avstandsformelen kan vi generalisere beregningen som er gjort i eksempel 2.

For to punkter, for eksempel A (x₁yy₁) og B (x₂y₂), vi har:

For å lære mer, les også:

• plangeometri
• Kartesisk plan
• rett

Avstand mellom to punkter i rommet

Vi bruker et tredimensjonalt koordinatsystem for å representere punkter i rommet.

Et punkt bestemmes fullt ut i rommet når det er en ordnet trippel (x, y, z) assosiert med det.

For å finne avstanden mellom to punkter i rommet, kan vi i utgangspunktet representere dem i koordinatsystemet og derfra utføre beregningene.

Eksempel:

Hva er avstanden mellom punkt A (3,1.0) og punkt B (1,2,0)?

I dette eksemplet ser vi at punkt A og B tilhører xy-planet.

Avstanden vil bli gitt av:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Formel for avstanden mellom to punkter i rommet

For å lære mer, les også:

• Romlig geometri
• Linje ligning
• Matematikkformler

Løste øvelser

1) Et punkt A tilhører abscissa-aksen (x-aksen) og er like langt fra punkt B (3.2) og C (-3.4). Hva er koordinatene til punkt A?

Se Svar

Ettersom punkt A hører til abscissa-aksen, er koordinaten dens (a, 0). Så vi må finne verdien av en.

(0 - 3)² + (til - 2)² = (0 + 3)² + (til -4)²
9 + til² - 4a +4 = 9 + a² - 8. + 16.
4. = 12
a = 3
(3.0) er koordinatene til punkt A.

2) Avstanden fra punkt A (3, a) til punkt B (0.2) er lik 3. Beregn ordinatverdien a.

Se Svar

3² = (0 - 3)² + (2 - a)²
9 = 9 + 4 - 4a + a²
De² - 4. +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

De siste årene har TV gjennomgått en reell revolusjon, når det gjelder bildekvalitet, lyd og interaktivitet med betrakteren. Denne transformasjonen skyldes konvertering av det analoge signalet til det digitale signalet. Imidlertid har mange byer fortsatt ikke denne nye teknologien. Søker å bringe disse fordelene til tre byer, har en TV-stasjon til hensikt å bygge et nytt overføringstårn, som sender et signal til antennene A, B og C, som allerede eksisterer i disse byene. Plasseringene til antennene er representert i det kartesiske planet:

Tårnet må være plassert like langt fra de tre antennene. Det rette stedet for bygging av dette tårnet tilsvarer koordinatpunktet

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Se Svar

Riktig alternativ e: (50; 30)

Se også: avstand mellom to poengøvelser

4) ENEM - 2011

Et nabolag i en by var planlagt i en flat region, med parallelle og vinkelrette gater, som avgrenser blokker av samme størrelse. I det følgende kartesiske koordinatplanet ligger dette nabolaget i andre kvadrant, og avstandene i
akser er gitt i kilometer.

Den rette linjen av ligning y = x + 4 representerer planleggingen av ruten til den underjordiske metrolinjen som vil krysse nabolaget og andre regioner i byen.
På punkt P = (-5,5) ligger et offentlig sykehus. Samfunnet ba planutvalget om å planlegge en T-banestasjon slik at avstanden til sykehuset, målt i en rett linje, ikke skulle være mer enn 5 km.
Som svar på samfunnets forespørsel argumenterte komiteen riktig for at dette automatisk ville bli oppfylt, ettersom det allerede var forutsett bygging av en stasjon på stedet.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Se Svar

Riktig alternativ b: (-3.1).

Se også: øvelser om analytisk geometri