Matriser: Kommenterte og løste øvelser

Matrise er en tabell dannet av reelle tall, ordnet i rader og kolonner. Tallene som vises i matrisen kalles elementer.

Dra nytte av de løste og kommenterte opptaksprøvene for å fjerne all tvil om dette innholdet.

Problemer med opptakseksamen løst

1) Unicamp - 2018

La a og b være reelle tall slik at matrisen A = åpne parenteser tabellrad med 1 2 rad med 0 1 enden av tabellparenteser tilfredsstiller ligning A.²= aA + bI, hvor jeg er identitetsmatrisen til ordre 2. Så produktet ab er lik

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Se Svar

For å finne ut verdien av produktet a.b, må vi først vite verdien av a og b. Så la oss vurdere ligningen gitt i problemet.

For å løse ligningen, la oss beregne verdien av A.², som gjøres ved å multiplisere matrise A med seg selv, det vil si:

En firkant lik åpne firkantede parenteser tabellrad med 1 2 rad med 0 1 enden av tabellen lukker firkantede parenteser. åpne parenteser tabellrad med 1 2 rad med 0 1 enden av tabellparenteser

Denne operasjonen gjøres ved å multiplisere radene i den første matrisen med kolonnene i den andre matrisen, som vist nedenfor:

På denne måten matrisen A² det er det samme som:

Et kvadrat tilsvarer åpne firkantede parenteser tabellrad med 1 4 rad med 0 1 enden av tabellen lukker firkantede parenteser

Tatt i betraktning verdien vi nettopp fant og husker at elementene i hoveddiagonalen i identitetsmatrisen er lik 1 og de andre elementene er lik 0, vil ligningen være:

instagram story viewer

åpne parenteser tabellrad med 1 4 rad med 0 1 enden av tabellparenteser lik a. åpne parenteser tabellrad med 1 2 rad med 0 1 enden av tabellen close parentes mer b. åpne parenteser tabellrad med 1 0 rad med 0 1 enden av tabellen lukkeparenteser

Vi må nå multiplisere matrisen A med tallet a og identitetsmatrisen med tallet b.

Husk at for å multiplisere et tall med en matrise, multipliserer vi tallet med hvert element i matrisen.

Dermed vil vår likhet være lik:

åpne parenteser tabellrad med 1 4 rad med 0 1 enden av tabellen close parenteser lik åpne parenteser tabellrad med celle med 2 til slutten av cellelinjen med 0 slutten av tabellen lukker parentes mer åpne firkantede parenteser tabellraden med b 0 rad med 0 b slutten av tabellen lukker braketter

Når vi legger til de to matrisene, har vi:

åpne parenteser tabellrad med 1 4 rad med 0 1 enden av tabellen lukker parenteser lik åpne parenteser tabellrad med celle med en pluss b ende av celle celle med 2 slutten av celle rad med 0 celle med en pluss b ende av celle slutten av tabellen nær braketter

To matriser er like når alle tilsvarende elementer er like. På denne måten kan vi skrive følgende system:

åpne nøkler tabellattributter kolonnejustering venstre ende attributter rad med celle med et pluss b lik 1 slutten av cellelinje med celle med 2 a lik 4 slutten av cellen slutten av tabellen

Isolering av a i den andre ligningen:

2 til 4 dobbel høyre pil lik 4 over 2 dobbel høyre pil lik 2

Ved å erstatte verdien som er funnet for a i den første ligningen, finner vi verdien av b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Dermed vil produktet bli gitt av:

De. b = - 1. 2
De. b = - 2

Alternativ: a) −2.

2) Unesp - 2016

Et punkt P, av koordinatene (x, y) til det ortogonale kartesiske planet, er representert av kolonnematrisen. åpne parenteser tabellrad med x rad med y slutten av tabellen close parentes , så vel som kolonnematrisen representerer, i det ortogonale kartesiske planet, punktet P for koordinatene (x, y). Dermed er resultatet av matrisemultiplikasjon åpne firkantede parenteser tabellrad med 0 celle med minus 1 ende av cellelinje med 1 0 enden av tabellen lukker firkantede parenteser. åpne parenteser tabellrad med x rad med y slutten av tabellen close parentes er en kolonnematrise som i det ortogonale kartesiske planet nødvendigvis representerer et punkt som er

a) en 180 ° rotasjon av P med urviseren, og med sentrum på (0, 0).
b) en rotasjon av P gjennom 90 ° mot urviseren, med sentrum på (0, 0).
c) symmetrisk av P med hensyn til den horisontale x-aksen.
d) symmetrisk av P med hensyn til den vertikale y-aksen.
e) en rotasjon av P til 90º med klokken, og med sentrum på (0, 0).

Se Svar

Punktet P er representert med en matrise, slik at abscissen (x) er indikert av elementet a.₁₁ og ordinaten (y) etter element a₂₁av matrisen.

For å finne den nye posisjonen til punkt P, må vi løse multiplikasjonen av de presenterte matrisene, og resultatet blir:

Resultatet representerer den nye koordinaten til punkt P, det vil si at abscissen er lik -y og ordinaten er lik x.

For å identifisere transformasjonen gjennomgått av posisjonen til punkt P, la oss representere situasjonen i det kartesiske planet, som angitt nedenfor:

Derfor flyttet punkt P, som først befant seg i 1. kvadrant (positiv abscissa og ordinat), til 2. kvadrant (negativ abscissa og positiv ordinat).

Når du flyttet til denne nye posisjonen, ble punktet rotert mot klokken, som vist på bildet over av den røde pilen.

Vi må fremdeles identifisere hva rotasjonsvinkelen var.

Ved å koble den opprinnelige posisjonen til punkt P til sentrum av den kartesiske aksen og gjøre det samme i forhold til dets nye posisjon P ', har vi følgende situasjon:

Merk at de to trekantene som er angitt i figuren er kongruente, det vil si at de har de samme målene. På denne måten er deres vinkler også de samme.

I tillegg er vinkler α og complement komplementære, da summen av de indre vinklene til trekanter er lik 180 º og siden trekanten er rettvinklet, vil summen av disse to vinklene være lik 90 º.

Derfor kan rotasjonsvinkelen til punktet, indikert i figuren med β, bare være lik 90º.

Alternativ: b) en 90 ° rotasjon av P mot klokken, med sentrum på (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Siden a er et reelt tall, bør du vurdere matrisen A = åpne parenteser tabellrad med 1 rad med 0 celle med minus 1 ende av celleenden av tabellen lukke parenteser . Så²⁰¹⁷ det er det samme som
De)
B)
ç)
d)

Se Svar

Først, la oss prøve å finne et mønster for kreftene, siden det er mye arbeid å multiplisere matrise A alene 2017 ganger.

Husk at i matrisemultiplikasjon blir hvert element funnet ved å legge til resultatene av å multiplisere elementene i raden av ett med elementene i kolonnen til det andre.

La oss starte med å beregne A²:

åpne parenteser tabellrad med 1 rad med 0 celle med minus 1 ende av celleenden av tabellen lukker parentesplass. mellomrom åpne parenteser tabellrad med 1 rad med 0 celle med minus 1 ende av celle slutten av tabellen parenteser lik åpne parenteser tabellrad med celle med 1.1 pluss a. 0 ende av cellecelle med mellomrom mellomrom 1. mest a. venstre parentes minus 1 høyre parentes slutten av cellelinjen til cellen med 0,1 pluss 0. venstre parentes minus 1 høyre parentesecellecelle med 0. pluss venstre parentes minus 1 høyre parentes. venstre parentes minus 1 høyre parentes slutten av cellen slutten av tabellen lukker parenteser er lik parentes tabellrad med 1 0 rad med 0 1 slutten av tabellen parentes

Resultatet var identitetsmatrisen, og når vi multipliserer en hvilken som helst matrise med identitetsmatrisen, blir resultatet selve matrisen.

Derfor er verdien av A³ vil være lik matrisen A selv, fordi A³ = A². DE.

Dette resultatet vil bli gjentatt, det vil si når eksponenten er jevn, er resultatet identitetsmatrisen, og når den er merkelig, vil den være selve matrisen A.

Siden 2017 er merkelig, vil resultatet være lik matrise A.

Alternativ: b) åpne parenteser tabellrad med 1 rad med 0 celle med minus 1 ende av celleenden av tabellen lukke parenteser

4) UFSM - 2011

Det gitte diagrammet representerer den forenklede næringskjeden til et gitt økosystem. Pilene angir arten den andre arten lever av. Ved å tildele verdien 1 når en art lever av en annen og null, når det motsatte forekommer, har vi følgende tabell:

Matrisen A = (a_ij)_4x4, tilknyttet tabellen, har følgende opplæringslov:

høyre parentes er et mellomrom med i j subscript slutten av abonnementet som er lik åpne nøkler tabell attributter kolonnejustering venstre ende av attributter rad med celle med 0 komma s mellomrom og i mellomrom mindre enn eller lik j slutten av celle rad med celle med 1 komma s mellomrom og i mellomrom større enn j slutten av celle slutten av tabellen lukkes b høyre parentes mellomrom a med i j abonnementsenden av abonnementet lik åpne nøkkler tabellattributter kolonnejustering venstre ende av attributteraden med celle med 0 komma s mellomrom og i mellomrom lik j slutten av cellelinjen med celle med 1 komma mellomrom s og i mellomrom ikke lik j slutten av celle slutten av tabellen lukkes c høyre parentes mellomrom a med i j abonnement slutten av abonnementet lik a åpner nøkkeltabellen attributter kolonnejustering venstre ende attributter rad med celle med 0 komma s mellomrom og i mellomrom større enn eller lik j slutten av celle rad med celle med 1 komma s mellomrom og i mellomrom mindre enn j slutten av cellen slutten av tabellen lukke d høyre parentes er et mellomrom med i j abonnementet slutten av abonnementet lik åpne nøkkelegenskaper av tabellkolonnejustering venstre ende av attributter rad med celle med 0 komma s mellomrom og i mellomrom ikke lik j slutten av cellelinje med celle med 1 komma mellomrom og jeg mellomrom lik j slutten av cellen slutten av tabellen lukkes og høyre parentes er et mellomrom med i j abonnenten slutten av abonnementet er lik åpne nøkler tabellattributter kolonnejustering venstre ende av attributtene rad med celle med 0 komma s mellomrom og i mellomrom mindre enn j slutten av celle rad med celle med 1 komma s mellomrom og jeg mellomrom større enn j slutten av celle slutten av bordet lukkes

Se Svar

Siden radnummeret er indikert av i og kolonnenummeret indikert av j, og ser på tabellen, merker vi at når i er lik j, eller i er større enn j, er resultatet null.

Posisjonene okkupert av 1 er de der kolonnetallet er større enn linjenummeret.

Alternativ: c) a med i j abonnentens slutt på abonnementet som er lik åpentastene tabellattributter kolonnestilling venstre ende av attributteraden med celle med 0 komma s mellomrom og i mellomrom større enn eller lik j slutten av celle rad med celle med 1 komma s mellomrom og jeg mellomrom mindre enn j slutten av celle slutten av tabellen stenger

5) Unesp - 2014

Tenk på matrise ligningen A + BX = X + 2C, hvis ukjente er matrisen X og alle matrisene er kvadrat av orden n. Den nødvendige og tilstrekkelige forutsetningen for at denne ligningen skal ha en enkelt løsning er at:

a) B - I ≠ O, hvor jeg er identitetsmatrisen for orden n og O er nullmatrisen for orden n.
b) B er inverterbar.
c) B ≠ O, hvor O er nullmatrisen i rekkefølgen n.
d) B - I er inverterbar, hvor jeg er identitetsmatrisen til orden n.
e) A og C er inverterbare.

Se Svar

For å løse matriseligningen, må vi isolere X på den ene siden av likhetstegnet. For å gjøre dette, la oss først trekke matrisen A fra begge sider.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

La oss nå trekke X, også på begge sider. I dette tilfellet vil ligningen være:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Siden jeg er identitetsmatrisen, blir resultatet matrisen selv når vi multipliserer en matrise med identiteten.

For å isolere X må vi nå multiplisere begge sider av likhetstegnet med den omvendte matrisen til (B-I), det vil si:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Husk at når en matrise er inverterbar, er produktet av matrisen med det inverse lik identitetsmatrisen.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Dermed vil ligningen ha en løsning når B - I er inverterbar.

Alternativ: d) B - I er inverterbar, hvor jeg er identitetsmatrisen til orden n.

6) Enem - 2012

En student registrerte de to månedene for noen av fagene sine i en tabell. Han bemerket at de numeriske oppføringene i tabellen utgjorde en 4x4 matrise, og at han kunne beregne årlige gjennomsnitt for disse fagene ved hjelp av matriser. Alle testene hadde samme vekt, og tabellen han fikk er vist nedenfor

For å oppnå disse gjennomsnittene multipliserte han matrisen oppnådd fra tabellen med

høyre parentes plass åpne firkantede parenteser tabellrad med celle med 1 halvdel av celle med 1 halv ende av celle med 1 halv ende av celle med 1 halv ende av celleenden på tabellen lukkes firkantede parenteser b høyre parentes plass åpne firkantede parenteser tabellrad med celle med 1 fjerde ende av cellecelle med 1 fjerde ende av cellecelle med 1 fjerde ende av celle celle med 1 fjerde ende av celle slutten av tabellen lukke parenteser c høyre parentes plass åpne parenteser tabell 1 linje 1 linje 1 linje 1 linje med 1 ende av tabellen lukke parenteser d høyre parentes mellomrom åpne parenteser tabellrad med celle med 1 halve enden av cellelinjen med celle med 1 halvenden av cellelinjen med celle med 1 halv ende av cellelinje med celle med 1 halv ende av celle slutten av tabellen lukke firkantede parenteser og høyre parentes plass åpne firkantede parenteser tabellrekke med celle med 1 fjerde ende av celle rad med celle med 1/4 ende av celle rad med celle med 1/4 ende av celle rad med celle med 1/4 ende av celle slutten av tabellen braketter

Se Svar

Det aritmetiske gjennomsnittet beregnes ved å legge til alle verdiene og dele på antall verdier.

Dermed må studenten legge karakterene til de 4 bimestrene og dele resultatet med 4 eller multiplisere hver karakter med 1/4 og legge til alle resultatene.

Ved hjelp av matriser kan vi oppnå det samme resultatet ved å utføre matriksmultiplikasjon.

Vi må imidlertid huske at det bare er mulig å multiplisere to matriser når antall kolonner i den ene er lik antall rader i den andre.

Ettersom matrisen med notater har 4 kolonner, må matrisen vi skal multiplisere ha 4 rader. Dermed må vi multiplisere med kolonnematrisen:

åpne firkantede parenteser tabellrad med celle 1 fjerde ende av celle rad med celle 1 fjerde ende av celle rad med celle med 1/4 ende av celle rad med celle med 1/4 ende av celleenden av bordet braketter

Alternativ: og

7) Fuvest - 2012

Tenk på matrisen Tilsvarer åpne firkantede parenteser tabellrad med celle med 2 pluss 1 ende av celle rad med celle med minus 1 ende av celle celle med pluss 1 ende av celle slutten av tabell parentes , på hva De er et reelt tall. Å vite at A innrømmer invers A^-1 hvis første kolonne er , summen av elementene i hoveddiagonalen til A^-1 det er det samme som