Videregående ligning: Kommenterte øvelser og konkurransespørsmål

En andregrads ligning er hele ligningen i formen øks² + bx + c = 0, med a, b og c reelle tall og a ≠ 0. For å løse en ligning av denne typen kan du bruke forskjellige metoder.

Benytt deg av resolusjonene som er kommentert på øvelsene nedenfor for å fjerne all tvil. Sørg også for å teste kunnskapen din med de løste konkurransespørsmålene.

Kommenterte øvelser

Øvelse 1

Min mors alder multiplisert med min alder er lik 525. Hvis moren min var 20 år da jeg ble født, hvor gammel er jeg da?

Løsning

Tatt i betraktning alderen min lik x, kan vi da vurdere at min mors alder er lik x + 20. Hvordan vet vi verdien av produktet i vår tid, da:

x. (x + 20) = 525

Gjelder fordelingsegenskapene til multiplikasjon:

x² + 20 x - 525 = 0

Vi kommer da til en fullstendig 2. grads ligning, med a = 1, b = 20 og c = - 525.

For å beregne røttene til ligningen, det vil si verdiene til x der ligningen er lik null, la oss bruke Bhaskaras formel.

Først må vi beregne verdien av ∆:

For å beregne røttene bruker vi:

Ved å erstatte verdiene i formelen ovenfor, vil vi finne røttene til ligningen, slik:

Siden min alder ikke kan være negativ, forakter vi verdien -35. Så resultatet er 15 år.

Øvelse 2

Et firkant, representert i figuren nedenfor, har en rektangulær form og arealet er lik 1350 m². Å vite at bredden tilsvarer 3/2 høyden, bestemme dimensjonene på torget.

Løsning

Tatt i betraktning at høyden er lik x, bredden vil da være lik 3 / 2x. Arealet til et rektangel beregnes ved å multiplisere basen med høydeverdien. I dette tilfellet har vi:

Vi kommer til en ufullstendig 2. grads ligning, med a = 3/2, b = 0 og c = - 1350, vi kan beregne denne typen ligning ved å isolere x og beregne kvadratrotverdien.

Ettersom verdien av x representerer høydemålet, vil vi se bort fra - 30. Dermed er høyden på rektangelet lik 30 m. For å beregne bredden, la oss multiplisere denne verdien med 3/2:

Derfor er firkantbredden lik 45 m og høyden er lik 30 m.

Øvelse 3

Slik at x = 1 er roten til ligningen 2ax² + (2.² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, verdiene til a skal være:

a) 3 og 2
b) - 1 og 1
c) 2 og - 3
d) 0 og 2
e) - 3 og - 2

Løsning

For å finne verdien av a, la oss først erstatte x med 1. På denne måten vil ligningen se slik ut:

2.a.1² + (2.² - til - 4). 1 - 2 - a² = 0
2. + 2.² - til - 4 - 2 - til² = 0
De² + til - 6 = 0

Nå må vi beregne roten til den komplette 2. grads ligningen, for det skal vi bruke Bhaskaras formel.

Derfor er det riktige alternativet bokstav C.

Konkurransespørsmål

1) Epcar - 2017

Vurder, i ℝ, ligningen (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = 0 i variabel x, hvor m er et reelt tall annet enn - 2.

Gjennomgå utsagnene nedenfor og ranger dem som V (SANT) eller F (FALSE).

() For alle m> 2 har ligningen et tomt løsningssett.
() Det er to reelle verdier på m for at ligningen skal tillate like røtter.
() I ligningen, hvis ∆> 0, kan m bare anta positive verdier.

Den riktige sekvensen er

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F

Se Svar

La oss se på hvert av utsagnene:

For alle m> 2 har ligningen et tomt løsningssett

Siden ligningen er av andre grad i ℝ, vil den ikke ha en løsning når deltaet er mindre enn null. Vi beregner denne verdien:

Så den første påstanden er sant.

Det er to reelle verdier av m for at ligningen skal tillate like røtter.

Ligningen vil ha like virkelige røtter når Δ = 0, det vil si:

- 4m + 8 = 0
m = 2

Derfor er utsagnet falsk ettersom det bare er en verdi av m der røttene er reelle og like.

I ligningen, hvis ∆> 0, kan m bare ta positive verdier.

For Δ> 0 har vi:

Siden det i settet med uendelige reelle tall er negative tall mindre enn 2, er utsagnet også feil.

Alternativ d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Laura må løse en ligning av 2. grad i "hjem", men innser at når hun kopierer fra tavle til notatbok, glemte hun å kopiere koeffisienten til x. For å løse ligningen registrerte han den slik: 4x² + øks + 9 = 0. Siden hun visste at ligningen bare hadde en løsning, og denne var positiv, var hun i stand til å bestemme verdien av a, som er

a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13

Se Svar

Når en ligning av 2. grad har en enkelt løsning, er deltaet, fra Bhaskaras formel, lik null. Så for å finne verdien av De, bare beregn deltaet, og tilsvarer verdien til null.

Så hvis a = 12 eller a = - 12 vil ligningen bare ha en rot. Imidlertid må vi fremdeles sjekke hvilke av verdiene til De resultatet vil være en positiv rot.

For det, la oss finne roten, for verdiene til De.

Så for a = -12 vil ligningen bare ha en rot og positiv.

Alternativ b: -12

3) Enem - 2016

En tunnel må forsegles med et betongdeksel. Tverrsnittet av tunnelen og betongdekslet har konturene av en parabelbue og har samme dimensjoner. For å bestemme kostnadene for arbeidet, må en ingeniør beregne arealet under den aktuelle parabolbuen. Ved å bruke den horisontale aksen på bakkenivå og symmetriaksen til parabolen som den vertikale aksen, fikk han følgende ligning for parabolen:
y = 9 - x², hvor x og y måles i meter.
Det er kjent at området under en parabel som dette er lik 2/3 av arealet til rektangelet, hvis dimensjoner er henholdsvis lik bunnen og høyden på tunnelinngangen.
Hva er arealet på fronten av betongdekket, i kvadratmeter?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Se Svar

For å løse dette problemet, må vi finne målingene av bunnen og høyden på tunnelinngangen, som problemet forteller oss at frontområdet er lik 2/3 av arealet til rektangelet med disse dimensjonene.

Disse verdiene blir funnet fra 2. grads ligning gitt. Parabolen i denne ligningen har konkaviteten avvist, fordi koeffisienten De er negativ. Nedenfor er en oversikt over denne lignelsen.

Fra grafen kan vi se at målingen av tunnelbunnen vil bli funnet ved å beregne røttene til ligningen. Allerede høyden vil være lik toppunktet.

For å beregne røttene observerer vi at ligningen 9 - x² er ufullstendig, så vi kan finne dens røtter ved å ligne ligningen til null og isolere x:

Derfor vil målingen av tunnelens bunn være lik 6 m, det vil si avstanden mellom de to røttene (-3 og 3).

Ser vi på grafen ser vi at toppunktet tilsvarer verdien på y-aksen som x er lik null, så vi har:

Nå som vi vet målingene av tunnelens bunn og høyde, kan vi beregne dens areal:

Alternativ c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

For hvilken verdi av "a" har ligningen (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 har to røtter og like?

til 1
b) 0
c) 1
d) 2

Se Svar

For at en ligning av 2. grad skal ha to like røtter, er det nødvendig at Δ = 0, det vil si b²-4ac = 0. Før vi beregner deltaet, må vi skrive ligningen i formaks² + bx + c = 0.

Vi kan begynne med å bruke distribusjonseiendommen. Imidlertid bemerker vi at (x - 2) gjentas i begge termer, så la oss sette det som bevis:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0

Nå distribuerer vi produktet:

øks² - 2x - 2ax + 4 = 0

Beregning av Δ og lik null, finner vi:

Så når a = 1, vil ligningen ha to like røtter.

Alternativ c: 1

For å lære mer, se også:

• Andregrads ligning
• Første grads ligning
• Kvadratisk funksjon
• Kvadratisk funksjon - Øvelser
• Lineær funksjon
• Relaterte funksjonsøvelser