DE andregrads ligning får navnet sitt fordi det er en polynomligning med den høyeste gradstiden er kvadrat. Også kalt en kvadratisk ligning, er den representert av:
øks2 + bx + c = 0
I en 2. graders ligning, er x er det ukjente og representerer en ukjent verdi. allerede tekstene De, B og ç kalles ligningskoeffisienter.
Koeffisientene er reelle tall og koeffisienten De det må være forskjellig fra null, ellers blir det en 1. grads ligning.
Å løse en andregrads ligning betyr å lete etter reelle verdier av x, som gjør ligningen sann. Disse verdiene kalles røttene til ligningen.
En kvadratisk ligning har høyst to virkelige røtter.
Komplette og ufullstendige videregående ligninger
2. grads ligninger fullstendig er de som har alle koeffisientene, det vil si a, b og c er forskjellige fra null (a, b, c ≠ 0).
For eksempel 5x ligningen2 + 2x + 2 = 0 er fullført, ettersom alle koeffisientene ikke er null (a = 5, b = 2 og c = 2).
En kvadratisk ligning er ufullstendig når b = 0 eller c = 0 eller b = c = 0. For eksempel 2x ligningen2 = 0 er ufullstendig fordi a = 2, b = 0 og c = 0
Løste øvelser
1) Bestem verdiene til x som gjør ligningen 4x2 - 16 = 0 sant.
Løsning:
Den gitte ligningen er en ufullstendig 2. grads ligning, med b = 0. For ligninger av denne typen kan vi løse ved å isolere x. Og dermed:
Merk at kvadratroten på 4 kan være 2 og - 2, da disse to kvadratiske tallene resulterer i 4.
Så røttene til 4x ligningen2 - 16 = 0 er x = - 2 og x = 2
2) Finn verdien av x slik at arealet til rektangelet nedenfor er lik 2.
Løsning:
Arealet til rektangelet blir funnet ved å multiplisere basen med høyden. Så vi må multiplisere de gitte verdiene og lik 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
La oss multiplisere alle vilkår:
x. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
x2 - 1x - 2x + 2 = 2
x2 - 3x + 2 - 2 = 0
x2 - 3x = 0
Etter å ha løst multiplikasjonene og forenklingene, finner vi en ufullstendig kvadratisk ligning, med c = 0.
Denne typen ligning kan løses gjennom faktorisering, fordi det x gjentas i begge termer. Så vi skal bevise det.
x. (x - 3) = 0
For at produktet skal være lik null, enten x = 0 eller (x - 3) = 0. Imidlertid erstatte x ved null er målene på sidene negative, så denne verdien vil ikke være svaret på spørsmålet.
Så vi har at det eneste mulige resultatet er (x - 3) = 0. Løsning av denne ligningen:
x - 3 = 0
x = 3
På denne måten verdien av x slik at arealet til rektangelet er lik 2 er x = 3.
Bhaskara formel
Når en kvadratisk ligning er fullført, bruker vi Bhaskara formel for å finne ligningens røtter.
Formelen presenteres nedenfor:
Delta formel
I Bhaskaras formel vises den greske bokstaven Δ (delta), som kalles ligningens diskriminerende, fordi det i henhold til verdien er mulig å vite antall røtter ligningen vil ha.
For å beregne deltaet bruker vi følgende formel:
Steg for steg
For å løse en 2. grads ligning, ved å bruke Bhaskaras formel, må vi følge disse trinnene:
1. trinn: Identifiser koeffisientene De, B og ç.
Vilkårene i ligningen vises ikke alltid i samme rekkefølge, så det er viktig å vite hvordan man kan identifisere koeffisientene, uavhengig av sekvensen de er i.
koeffisienten De er tallet som følger med x2, O B er tallet som følger med x det er ç er det uavhengige begrepet, det vil si tallet som vises uten x.
Andre trinn: Beregn deltaet.
For å beregne røttene er det nødvendig å vite deltaets verdi. For å gjøre dette erstatter vi bokstavene i formelen med koeffisientverdiene.
Vi kan, fra deltaverdien, vite på forhånd antall røtter som 2. grads ligning vil ha. Det vil si hvis verdien av Δ er større enn null (Δ > 0), vil ligningen ha to virkelige og tydelige røtter.
Hvis det motsatte er delta mindre enn null (Δ), vil ligningen ikke ha reelle røtter, og hvis den er lik null (Δ = 0), vil ligningen bare ha en rot.
3. trinn: Beregn røttene.
Hvis verdien funnet for delta er negativ, trenger du ikke gjøre flere beregninger, og svaret er at ligningen ikke har noen virkelige røtter.
Hvis deltaverdien er lik eller større enn null, må vi erstatte alle bokstaver med deres verdier i Bhaskaras formel og beregne røttene.
Trening løst
Bestem røttene til 2x ligningen2 - 3x - 5 = 0
Løsning:
For å løse dette må vi først identifisere koeffisientene, så vi har:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Nå kan vi finne deltaverdien. Vi må være forsiktige med tegnreglene og huske at vi først må løse potensering og multiplikasjon, deretter addisjon og subtraksjon.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Ettersom verdien som er funnet er positiv, vil vi finne to forskjellige verdier for røttene. Så vi må løse Bhaskaras formel to ganger. Så vi har:
Så røttene til 2x ligningen2 - 3x - 5 = 0 er x = 5/2 og x = - 1.
2. graders ligningssystem
Når vi ønsker å finne verdier av to forskjellige ukjente som samtidig tilfredsstiller to ligninger, har vi en ligningssystem.
Ligningene som utgjør systemet kan være av 1. grad og 2. grad. For å løse denne typen system kan vi bruke substitusjonsmetoden og tilleggsmetoden.
Trening løst
Løs systemet nedenfor:
Løsning:
For å løse systemet kan vi bruke tilleggsmetoden. I denne metoden legger vi til lignende termer fra 1. ligning med de fra 2. ligning. Så vi reduserer systemet til en enkelt ligning.
Vi kan fortsatt forenkle alle vilkårene i ligningen med 3, og resultatet blir ligningen x2 - 2x - 3 = 0. Å løse ligningen har vi:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Etter å ha funnet x-verdiene, la oss ikke glemme at vi fortsatt må finne y-verdiene som gjør systemet sant.
For å gjøre dette er det bare å erstatte verdiene som er funnet for x i en av ligningene.
y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22
y2 - 6. (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2
Derfor er verdiene som tilfredsstiller det foreslåtte systemet (3, 22) og (-1, - 2)
Du kan også være interessert i Første grads ligning.
Øvelser
Spørsmål 1
Løs den fullstendige kvadratiske ligningen ved hjelp av Bhaskara's Formula:
2x2 + 7x + 5 = 0
Først og fremst er det viktig å observere hver koeffisient i ligningen, derfor:
a = 2
b = 7
c = 5
Gjennom formelen for diskriminanten av ligningen, må vi finne verdien av Δ.
Dette er for å senere finne røttene til ligningen gjennom den generelle formelen eller Bhaskaras formel:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Merk at hvis verdien av Δ er større enn null (Δ > 0), vil ligningen ha to virkelige og tydelige røtter.
Så etter å ha funnet Δ, la oss erstatte den i Bhaskaras formel:
Derfor er verdiene til de to virkelige røttene: x1 = - 1 og x2 = - 5/2
Sjekk ut flere spørsmål på Videregående ligning - Øvelser
spørsmål 2
Løs ufullstendige andregrads ligninger:
a) 5x2 - x = 0
Først ser vi etter koeffisientene til ligningen:
a = 5
b = - 1
c = 0
Det er en ufullstendig ligning der c = 0.
For å beregne det kan vi bruke faktorisering, som i dette tilfellet setter x i bevis.
5x2 - x = 0
x. (5x-1) = 0
I denne situasjonen vil produktet være lik null når x = 0 eller når 5x -1 = 0. Så la oss beregne verdien av x:
Så røttene til ligningen er x1 = 0 og x2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
Det er en ufullstendig andregradsligning, der b = 0, beregningen kan gjøres ved å isolere x:
x1 = 1 og x2 = - 1
Så de to røttene til ligningen er x1 = 1 og x2 = - 1
c) 5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
I dette tilfellet presenterer den ufullstendige ligningen koeffisienter b og c lik null (b = c = 0):
Derfor har røttene til denne ligningen verdiene x1 = x2 = 0
For å lære mer, les også:
- Kvadratisk funksjon
- Sum og produkt
- ulikhet
- irrasjonelle ligninger
- Partehvirvel
