1. og 2. grads ulikhet: hvordan løse og øvelser

Inequation er en matematisk setning som har minst en ukjent verdi (ukjent) og representerer en ulikhet.

I ulikhetene bruker vi symbolene:

• > større enn
• ≥ større enn eller lik
• ≤ mindre enn eller lik

Eksempler

a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Førsteklasses ulikhet

En ulikhet er av 1. grad når den største eksponenten av det ukjente er lik 1. De kan ta følgende former:

• øks + b> 0
• øks + b
• øks + b ≥ 0
• ax + b ≤ 0

Å være De og B reelle tall og De ≠ 0

Løsning av første grad ulikhet.

For å løse en slik ulikhet kan vi gjøre det på samme måte som vi gjør i ligninger.

Vi må imidlertid være forsiktige når det ukjente blir negativt.

I dette tilfellet må vi multiplisere med (-1) og invertere ulikhetssymbolet.

Eksempler

a) Løs ulikheten 3x + 19

For å løse ulikheten må vi isolere x, passere 19 og 3 til den andre siden av ulikheten.

Husk at når vi bytter side, må vi endre operasjonen. Dermed vil de 19 som ble lagt til passere synkende og de 3 som ble multiplisert vil passere deling.

3xxx

b) Hvordan løse ulikheten 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Når det er algebraiske termer (x) på begge sider av ulikheten, må vi slutte oss til dem på samme side.
Ved å gjøre dette endres tallene som skifter side.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30-15
- 9x ≥ - 45

La oss multiplisere hele ulikheten med (-1). For å gjøre dette endrer vi tegnet på alle vilkår:

9x ≤ 45 (merk at vi inverterer symbolet ≥ til ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Derfor er løsningen på denne ulikheten x ≤ 5.

Oppløsning ved hjelp av ulikhetsgrafen

En annen måte å løse ulikhet på er å tegne den i kartesisk plan.

I grafen studerer vi tegnet på ulikhet ved å identifisere hvilke verdier av x gjør ulikhet til en sann setning.

For å løse en ulikhet ved hjelp av denne metoden må vi følge trinnene:

1.) Sett alle vilkårene for ulikheten på samme side.
2º) Erstatt tegnet på ulikhet med tegnet på likhet.
3.) Løs ligningen, det vil si finne roten.
4.) Studer tegnet på ligningen, og identifiser verdiene til x som representerer løsningen av ulikhet.

Eksempel

Løs ulikheten 3x + 19

La oss først skrive ulikheten med alle ordene på den ene siden av ulikheten:

3x + 19 - 40 3x - 21

Dette uttrykket indikerer at løsningen på ulikheten er verdiene til x som gjør ulikheten negativ (

Finn roten til ligningen 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (roten til ligningen)

Representere i det kartesiske planet parene som ble funnet når du erstatter verdier i x i ligningen. Grafen til denne typen ligning er a rett.

Vi identifiserte at verdiene

Andre grad ulikhet

En ulikhet er av 2. grad når den største eksponenten av det ukjente er lik 2. De kan ta følgende former:

• øks² + bx + c> 0
• øks² + bx + c
• øks² + bx + c ≥ 0
• øks² + bx + c ≤ 0

Å være De, B og ç reelle tall og De ≠ 0

Vi kan løse denne typen ulikhet ved å bruke grafen som representerer 2. grads ligning for å studere tegnet, akkurat som vi gjorde for 1. grads ulikhet.

Husk at grafikken i dette tilfellet vil være en lignelse.

Eksempel

Løs ulikhet x² - 4x - 4

For å løse ulikhetsgrad i andre grad er det nødvendig å finne verdier som har uttrykk på venstre side av tegnet

Identifiser først koeffisientene:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Vi bruker Bhaskara formel (Δ = b² - 4ac) og vi erstatter verdiene til koeffisientene:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Fortsetter vi med Bhaskaras formel, erstattet vi igjen av verdiene til koeffisientene våre:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

x₁ = (1 + 5)/ 2
x₁ = 6 / 2
x₁ = 3

x₂ = (1 - 5) / 2
x₁ = - 4 / 2
x₁ = - 2

Røttene til ligningen er -2 og 3. som Deav 2. grads ligning er positiv, vil grafen ha konkaviteten vendt opp.

Fra grafen observerer vi at verdiene som tilfredsstiller ulikheten er: - 2

Vi kan indikere løsningen ved hjelp av følgende notasjon:

Les også:

• Første grads ligning
• Andregrads ligning
• Ligningssystemer

Øvelser

1. (FUVEST 2008) Etter medisinsk anbefaling må en person i en kort periode følge en diett som garanterer et minimum på 7 milligram vitamin A og 60 mikrogram vitamin D, som utelukkende spiser på en spesiell yoghurt og en blanding av frokostblandinger, plassert i pakker.

Hver liter yoghurt gir 1 milligram vitamin A og 20 mikrogram vitamin D. Hver pakke med frokostblandinger gir 3 milligram vitamin A og 15 mikrogram vitamin D.

Ved å konsumere x liter yoghurt og y pakker med frokostblandinger daglig, vil personen være sikker på å følge dietten hvis:

a) x + 3y ≥ 7 og 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 og 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20 år ≥ 7 og 3 ganger + 15 år ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 og 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 og 3x + 20y ≥ 60

Se Svar

Alternativ til: x + 3y ≥ 7 og 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) En by betjenes av to telefonselskaper. Bedrift X tar et månedlig abonnement på R $ 35,00 pluss R $ 0,50 per brukt minutt. Firma Y koster per måned et abonnement på R $ 26,00 pluss R $ 0,50 per minutt brukt. Etter hvor mange minutters bruk vil selskap Xs plan være mer fordelaktig for kundene enn selskap Ys plan?

Se Svar

26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60

Etter 60 minutter er selskapets X-plan mer fordelaktig.