Vi vet som reelle tall alle rasjonelle tall og irrasjonell. Ved å studere numeriske sett, er det viktig å forstå at de følger menneskehetens behov og historie. De numeriske settene er:
- sett med naturlige tall
- hele tallsett
- sett med rasjonelle tall
- sett med irrasjonelle tall
- sett med reelle tall
Du reelle tall har egenskaper slik som: assosiativ, kommutativ, eksistensen av det nøytrale elementet for addisjon og multiplikasjon, eksistensen av et invers element i multiplikasjon, og distributivt. de reelle tallene kan være representert på den virkelige linjen - hvordan å representere dem på en ordnet måte.
Les også: Hva er primtall?
Hva er de virkelige tallene?
Vi kjenner som reelle tall settet dannet av forening av rasjonelle og irrasjonelle tall. Det er ganske vanlig å jobbe med dem, men settet med reelle tall var ikke det første som dukket opp i historien.
naturlige tall
O første numeriske sett den ble dannet av de naturlige tallene. De ble skapt ut fra menneskets grunnleggende behov for å telle og telle gjenstander i deres daglige liv. Du naturlige tall de er:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
heltall
Med utviklingen av samfunnet endret menneskets lengsler og mennesket trenger å jobbe med negative tall. Operasjoner som 4 - 6, som i settet med naturlige tall ikke ga mening, begynte å gjøre det med fremveksten av dette nye settet. Settet av hele tall kom med tillegg av negative tall i settet med naturlige tall, det vil si det er dannet av de naturlige tallene og det motsatte av dem.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
rasjonelle tall
Det viser seg at, til og med så, med tillegg av de negative tallene, var ikke settet med hele tall nok, siden, siden det gamle Egypt, er det ganske vanlig å bruke tall som ikke er heltall. Det var da behovet for å formalisere et nytt sett ble realisert: settet dannet av alle tall som kan representeres av en brøkdel er kjent som rasjonelle tall.
I motsetning til settet med hele tall, i det rasjonelle det er ikke mulig å skrive en ordliste med sine forgjengere og etterfølgere, fordi, gitt de rasjonelle tallene, vil det alltid være en annen rasjonalt tall mellom dem. For eksempel er det mellom 1 og 2 1,5; mellom 1 og 1,5 er det 1,25; og så videre. Derfor, for å representere de rasjonelle tallene, bruker vi følgende notasjon:
I denne notasjonen er det rasjonelle tallet det som kan representeres av brøkdelen De under B, på hva De er et helt tall og B er et heltall som ikke er null.
I settet med rasjonelle tall, alle heltall ble inkludert som allerede var kjent, ettersom de alle kan representeres som en brøkdel, i tillegg til de eksakte desimaltallene og periodiske tiende, positiv og negativ.
Se også: Hva er ordinære tall?
irrasjonelle tall
I motsetning til definisjonen av rasjonelle tall, er det tall som ikke kan representeres som en brøkdel. Noen matematikere har studert dem i tide, i et forsøk på å fremstille denne framstillingen, men det er ikke mulig. Disse tallene er ikke-periodiske tiende og røtter ikke eksakt, som ender med å generere ikke-periodiske tiende som et resultat. Tallet π er for eksempel et irrasjonelt tall som er ganske vanlig i hverdagen. Settet med irrasjonelle tall er ikke oppført, det samme er rasjonelle tall, og representeres av bokstaven Jeg.
Eksempler:
- √2 → ikke-eksakte røtter er irrasjonelle tall;
- -√5 → røtter ikke eksakte selv om negative er irrasjonelle tall;
- 3.123094921… → ikke-periodiske desimaler er irrasjonelle tall.
reelle tall
Siden alle naturlige og heltall anses som rasjonelle, kan tall så langt være klassifisert i to store sett, settet med rasjonelle tall og settet med tall irrasjonell. Settet med reelle tall er ikke mer enn forening av rasjonelle og irrasjonelle tall.
R = {Q U I}
Så langt kalles alle tallene vi kjenner til reelle tall.
Operasjoner med reelle tall
Operasjonene som involverer reelle tall er de som er kjent for alle tidligere sett med tall. Er de:
- addisjon
- subtraksjon
- inndeling
- multiplikasjon
- potensiering
- stråling
For å utføre noen av disse operasjonene mellom reelle tall, er det ingen forskjell fra operasjoner med tidligere tall.
Også med tanke på slike operasjoner er det viktig å markere det det er egenskaper i settet med reelle tall.
Egenskaper av reelle tall
Det er viktig å forstå at egenskapene til reelle tall er konsekvensene av definisjonen og er nyttige for å utføre operasjoner. Er de:
- eksistensen av et nøytralt element for addisjon og multiplikasjon
- kommutativ eiendom
- assosiativ eiendom
- distribusjonseiendom
- eksistensen av en invers
nøytralt element
Være De et reelt tall.
Det er et tall som, lagt til De, resulterer i seg selv De:
De + 0 = De
0 er det nøytrale elementet i summen..
Det er et tall som, når du multipliserer med De, resulterer i seg selv De.
De · 1 = De
1 er det nøytrale multiplikasjonselementet.
Kommutativ eiendom
Være De og B to reelle tall.
Hverken i tillegg eller multiplikasjon vil rekkefølgen på tall ikke endre resultatet.
De + B = B + De
a · b = b · a
assosiativ eiendom
Være De, B og ç reelle tall.
I både tillegg og multiplikasjon er de to opererte tallene likegyldige for hvilken som helst rekkefølge.
(De + B) + ç = De + (B + ç)
(a · b) · Ç = De· (b · c)
distribusjonseiendom
Være De, B og ç reelle tall.
Den fordelende eiendommen viser at produkt av summen er lik summen av produktene.
ç (a + b) = ca + cb
Eksistensen av en omvendt
Være De et reelt tall som ikke er null.
for hvert reelle tall De forskjellig fra null, er det et tall slik at produktet kommer inn De og dette tallet er lik 1.
representasjon på rett
Vi kan representere settet med reelle tall i en linje, siden det er et veldefinert ordensprinsipp for ham. Denne representasjonen på linjen er kjent som den virkelige linjen eller redet er numerisk og det er ganske vanlig, selv i studien av det kartesiske planet.
Også tilgang: Hva er brøkdel?
løste øvelser
Spørsmål 1 - Vennligst bedøm følgende uttalelser:
I - Periodiske desimaler er reelle tall.
II - Hvert reelle tall er rasjonelt eller irrasjonelt.
III - Ikke alle hele tallene er naturlige.
Ved å analysere uttalelsene kan vi si at:
A) bare jeg er falsk.
B) bare II er falsk.
C) bare III er falsk.
D) alt er sant.
E) alle er falske.
Vedtak
Alternativ D.
Jeg - sant, siden tiendene er irrasjonelle tall, er de følgelig reelle tall.
II - sant, siden settet med reelle tall er foreningen av reelle og irrasjonelle tall.
III - Sant, ettersom negative tall, som -2 og -5, er heltall, men ikke naturlige.
Spørsmål 2 - Sjekk ut følgende egenskaper:
Jeg - kommutativ eiendom
II - fordelingseiendom
III - tilknyttet eiendom
Analyser følgende operasjoner og merk dem med antallet av deres respektive egenskaper:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Hvilke av alternativene tilsvarer riktig rekkefølge av egenskaper:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Vedtak
Alternativ A.
1 - (II) I dette tilfellet skjedde fordelingsegenskapen, siden merk at 3 ble multiplisert med hver av faktorene i operasjonen.
2 - (I) I dette tilfellet endrer ikke rekkefølgen på faktorene produktet, kommutativiteten til multiplikasjonen.
3 - (III) Vi har den assosiative egenskapen, da rekkefølgen disse elementene legges til ikke endrer summen.
4 - (I) Også her har vi kommutativitet, da rekkefølgen på pakkene ikke endrer summen.
