DE Ellipse er en flat figur klassifisert som en konisk, fordi hun kan fås fra seksjonen av en plan i en kjegle. Å finne en flat figur med ellipseform er ganske vanlig i hverdagen. Det har blitt studert mye for å forklare bevegelse av planeter rundt solen, ettersom banene til disse stjernene er ellipser.
DE analytisk geometri er matematikkområdet som søker å beskrive algebraisk geometriske former, inkludert, ellipsen studeres i dybden i analytisk geometri, å være mulig å beskrive det gjennom en ligning som tar hensyn til elementene. Hovedelementene i ellipsen er:
hovedakse
mindre akse
brennvidde
foci F1 og F2
Vi definerer ellipsen som settet med punkter hvor summen av avstanden til disse punktene til fokus F1 og å fokusere F2 det er alltid konstant.
Les også: Hva er forskjellen mellom flate og romlige figurer?
Hva er en ellips?
Vi kjenner som en ellips flat figur dannet av snittet mellom planet og Kjegle, på følgende måte:
For å bygge ellipsen er det trenger å vite din to fokuserer
, F1 og F2, og også lengden på hovedaksen, som er linjen som forbinder endene av ellipsen, i bildet nedenfor, representert av A1 DE2.Lengden på hovedaksen er lik 2a, så ellipsen er kurven dannet av alle punkter PNei hvor summen av avstanden fra punktet til første fokus (dPNeiF1) med avstanden fra punktet til det andre fokuset (dPNeiF2) er alltid konstant og lik 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1DE2 = 2.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Ellipse Elements
For å fullt ut forstå dannelsen av ellipsen, er det nødvendig å kjenne hvert av elementene. De er fokusene, sentrum, hovedaksen og mindreaksen. Basert på dem er det mulig å spore viktige forhold i ellipsen.
Sentrum av ellipsen er representert med punktet O.
Allerede F-poengene1 og F2 representerer ellipsefokusene.
punktene A1 og2 er ender av ellipsens horisontale akse, og punkt B1 og B2 er ender av den vertikale aksen.
Avstanden mellom B1 og B2 er lik 2b (lengden på ellipsen på mindre akse).
Avstanden mellom A.1 og2 er lik 2a (lengden på ellipsen på hovedaksen).
Brennvidde mellom F1 og F2 er lik 2c.
Observasjon: Det er viktig å innse at F1B1 har en lengde lik halvparten av den horisontale aksen, det vil si dF1B1 = a. Dermed er det også mulig å oppfatte et viktig Pythagoras-forhold når man analyserer trekant A1OB1. Merk at han er en høyre trekant. Derfor kan vi bruke Pythagoras teorem.
a² = b² + c²
Det er en annen mulighet for ellipsen, som er når den lengste aksen er den vertikale aksen. I dette tilfellet forblir elementene de samme.
I dette tilfellet kan vi også bruke Pythagoras-setningen, og få følgende:
b² = a² + c²
Les også: Hva er elementene i en polygon?
Ellipse ligning
Studiet av ellipsen analytisk gjøres i Kartesisk fly. Analytisk geometri søker å beskrive figurene til, gjennom ligninger plangeometri. Dermed er det mulig å beskrive figuren gjennom den såkalte ellipseligningen.
Først vil vi lage eksempler på en ellipse hvis fokus er inneholdt enten på x-aksen eller på y-aksen, det vil si at ellipsens opprinnelse sammenfaller med opprinnelsen til det kartesiske planet.
I dette tilfellet er det to muligheter, når hovedaksen er den vertikale aksen og når hovedaksen er den horisontale aksen:
Observasjon: Foci er alltid inneholdt i den lengste aksen, så hvis a> b, er foci inne i den horisontale aksen, og hvis b> a, er de inneholdt i den vertikale aksen.
Sentrum av ellipsen er ikke alltid opprinnelsen til det kartesiske planet, som ikke forhindrer utvikling og tilpasning av ellipseligningen for dette tilfellet. Når ellipsen er forskjøvet fra opprinnelsen O (x0, y0), kan ligningen beskrives av:
Les også: Hva er den reduserte ligningen av omkretsen?
Ellipse eksentrisitet
Vi vet som eksentrisitetgrunnen til mellom lengde c og halv lengde på ellipsens lengste akse. Forutsatt at den lengste aksen er horisontal, beregnes eksentrisiteten av:
Hvis ellipsen er på den vertikale aksen, vil eksentrisiteten bli beregnet av:
DE eksentrisitet forteller oss hvor flat ellipsen erjo større eksentrisitetsverdien er, jo nærmere en sirkel vil ellipsen være. Ettersom hovedaksen alltid har en lengde større enn brennvidden, så følgelig c Ettersom ellipsen har en avrundet form, for å beregne arealet, bruker vi konstanten π og også mål på halvparten av den horisontale lengden og halvparten av den vertikale lengden, så, Vi må: A = abπ A: ellipselengde Eksempel: Beregn arealet til en ellips, med fokusene på den horisontale aksen, hvis lengste akse måler 50 cm, og den minste, 36 cm. Ettersom hovedaksen er horisontal, så er fokusene inneholdt i den. Derfor må vi: 2. = 50 a = 50/2 a = 25 Og på den vertikale aksen må vi: 2b = 36 b = 36/2 b = 18 Så området for ellipsen er gitt av: A = abπ A = 25 · 18π A = 450π cm² Spørsmål 1 - Når du analyserer ellipsen nedenfor, er alternativet som inneholder dens brennvidde: A) 5 Vedtak Alternativ E. Brennvidden er lik 2c, og i tillegg a = 8 og b = 6. Ettersom fokusene er inneholdt på x-aksen, må vi: Siden brennvidden er lik 2c, så er 2c = 8√3. Spørsmål 2 - (IFB) Med tanke på en ellipse med sentrum ved opprinnelsen, må du fokusere på en av koordinataksene og passere gjennom punkter (5, 0) og (0, 13), og bestemme fokusene på ellipsen. a) (13, 0) og (-13, 0) Vedtak Alternativ D Merk at den passerer gjennom punktet (0, 13), som indikerer at b = 13, og også at det passerer gjennom punktet (5.0) a = 5. Som b> a må vi: b² = a² + c² Siden b er større, så er fokuset på den vertikale aksen, dvs. (0, 12) og (0, -12). Av Raul Rodrigues de Oliveiraellipsområde
a: halv lengde på den horisontale aksen
b: halv lengde på den vertikale aksen
løste øvelser
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
b) (0, 13) og (0, -13)
c) (12, 0) og (-12, 0)
d) (0, 12) og (0, -12)
e) (5, 0) og (-5, 0)
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Matematikklærer
