Logaritmiske ulikheter. Løse logaritmiske ulikheter

På logaritmiske ulikheter er alle de som presenterer logaritmer. Det ukjente er i disse tilfellene i logaritme og / eller i utgangspunkt. Husk den ene logaritme har følgende format:

Logg_De b = x ↔ a^x = b,

*De og base av logaritme;B det er logaritme og x det er logaritme.

For å løse logaritmiske ulikheter bruker vi operative egenskaper til logaritmer og de tradisjonelle konseptene for å løse ulikheter. Akkurat som vi gjør med logaritmiske ligninger, Det er viktig å kontrollere logaritmene (både basen og logaritmen må være større enn null).

Ved å utvikle de logaritmiske ulikhetene kan vi oppnå to situasjoner:

1.) Ulikhet mellom logaritmer på samme grunnlag:

Logg_De b De ç

Her har vi to saker som skal analyseres: hvis basen er større enn 1 (a> 1), vi kan se bort fra logaritmen og opprettholde ulikhet mellom logaritmene, det vil si:

Hvis a> 1 logg deretter_De b De c ↔ b

Hvis derimot basen er et tall mellom 0 og 1 (0> a> 1), når vi skal løse den logaritmiske ulikheten, må vi omvendt ulikhet og etablere en ulikhet mellom logaritmene, det vil si:

Hvis 0> a> 1, logg deretter_De b De c ↔ b> c

Andre) Ulikhet mellom en logaritme og et reelt tall:

Logg_De b

Hvis vi når vi løser en logaritmisk ulikhet, støter på en ulikhet mellom en logaritme og en reelt tall, kan vi bruke den grunnleggende egenskapen til logaritmen, og holde symbolet på ulikhet:

Logg_De b x

eller

Logg_De b> x ↔ b> a^x

La oss se på noen eksempler på å løse logaritmiske ulikheter:

Eksempel 1: logg₅ (2x - 3) 5 x

Vi må sjekke betingelsene for logaritmene:

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

2x - 3> 0 2x> 3 x> ^3/2

x> 0

Vi har en ulikhet mellom logaritmer av samme base som er større enn 1. Vi kan da opprettholde ulikheten bare mellom logarithmanene:

Logg₅ (2x - 3) 5 x
2x - 3
2x - x <3
x <3

Eksempel 1 oppløsningsdiagram

I dette tilfellet er løsningen

.

Eksempel 2: logg₂ (x + 3) ≥ 3

Først sjekker vi tilstanden til logaritmen:

x + 3> 0
x> - 3

I dette tilfellet er det en ulikhet mellom en logaritme og et reelt tall. Vi kan løse logaritmen på en konvensjonell måte og holde ulikheten:

Logg₂ (x + 3) ≥ 3
x + 3≥ 2³ 
x + 3 ≥ 8
x≥ 8 - 3
x≥ 5 

Eksempel 2 oppløsningsdiagram

Løsningen er .

Eksempel 3: logg_1/2 3x> logg_1/2 (2x + 5)

Ved å kontrollere logaritmens eksistensbetingelser har vi:

3x> 0 x> 0

2x + 5> 0 2x> - 5 ​x> ^– 5/2

I dette eksemplet er det en ulikhet mellom logaritmer av samme base som er mindre enn1. For å løse det, må vi snu ulikheten og bruke den mellom logarithmanene:

Logg_1/2 3x> logg_1/2 (2x + 5)
3x <2x + 5
3x - 2x <5
x <5

Eksempel 3 oppløsningsdiagram

I dette tilfellet er løsningen ​.

Av Amanda Gonçalves
Uteksamen i matematikk

Vil du referere til denne teksten i et skole- eller akademisk arbeid? Se:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Logaritmiske ulikheter"; Brasilskolen. Tilgjengelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacoes-logaritmicas.htm. Tilgang 28. juni 2021.

Produktlikning

Ulikhet, hva er ulikhet, tegn på ulikhet, studie av tegnet, studie av tegnet på en ulikhet, produktulikhet, produkt av ulikheter, funksjon, tegnspill.