Summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon

En aritmetisk progresjon (PA) er en sekvens numerisk der hvert begrep er summen av den forrige med en konstant, kalt forholdet. De eksisterer matematiske uttrykk for å bestemme termen til en PA og beregne summen av dens Nei første termer.

Formelen som brukes til å beregne summen av vilkår av en endelig PA eller summen av Nei første vilkår for en PA er som følger:

s_Nei = på₁ + den_Nei)
2

* n er antall BP-termer; De₁ er første periode, og_Nei er den siste.

Opprinnelsen til summen av vilkårene for PA

Det sies at den tyske matematikeren Carl Friederich Gauss, omtrent 10 år gammel, ble straffet med klassen sin på skolen. Læreren ba elevene legge sammen alle tallene som vises i sekvens fra 1 til 100.

Gauss var ikke bare den første som kom i mål på veldig kort tid, han var også den eneste som fikk resultatet riktig (5050). Videre viste det ingen beregninger. Det han gjorde var å reparere følgende eiendom:

Summen av to termer like langt fra ytterpunktene til en endelig PA er lik summen av ytterpunktene.

Det var ingen kunnskap om PANNE den gangen, men Gauss så på listen over tall og innså at å legge til den første til den siste ville resultere i 101; Hvis du legger det andre til nest siste, vil resultatet også bli 101 og så videre. Som summen av alle par av termer like langt av ytterpunktene kom til 101, måtte Gauss bare multiplisere tallet med halvparten av de tilgjengelige vilkårene for å finne 5050-resultatet.

Merk at fra nummer 1 til nummer 100 er det nøyaktig 100 tall. Gauss innså at hvis han la dem til to og to, ville han få 50 resultater som tilsvarer 101. Derfor ble denne multiplikasjonen utført med halvparten av de totale vilkårene.

Demonstrasjon av summen av vilkårene for en PA

Denne bragden ga uttrykk for å beregne summen av Nei første vilkår for en PA. Taktikken som brukes for å komme til dette uttrykket er som følger:

gitt en PANNE noen, vi legger til de første n-vilkårene for den. Matematisk vil vi ha:

s_Nei = den₁ + den₂ + den₃ +… + The_{n - 2} + den_{n - 1} + den_Nei

Rett under dette summen av vilkår, vi vil skrive en annen, med de samme begrepene som den forrige, men i avtagende forstand. Merk at summen av vilkårene i den første er lik summen av vilkårene i den andre. Derfor ble begge sidestilt med S_Nei.

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

s_Nei = den₁ + den₂ + den₃ +… + The_{n - 2} + den_{n - 1} + den_Nei

s_Nei = den_Nei + den_{n - 1} + den_{n - 2} +… + The₃ + den₂ + den₁

Merk at disse to uttrykkene ble hentet fra en enkelt PANNE og at de like lange begrepene er justert vertikalt. Derfor kan vi legge til uttrykk for å få:

s_Nei = den₁ + den₂ + den₃ +… + The_{n - 2} + den_{n - 1} + den_Nei

+ s_Nei = den_Nei + den_{n - 1} + den_{n - 2} +… + The₃ + den₂ + den₁

2S_Nei = (a₁ + den_Nei) + (a₂ + den_{n - 1}) +… + (A_{n - 1} + den₂) + (a_Nei + den₁)

Husk at summen av begrep som er like langt fra ytterpunktene, er lik summen av ytterpunktene. Derfor kan hver parentes erstattes av summen av ytterpunktene, slik vi vil gjøre videre:

2S_Nei = (a₁ + den_Nei) + (a₁ + den_Nei) +... + (den₁ + den_Nei) + (a₁ + den_Nei)

Ideen til Gauss var å legge til ekvivalente termer for en sekvens. Så han fikk halvparten av vilkårene fra PANNE i resultat 101. Vi gjorde det slik at hver periode av den opprinnelige BP ble lagt til sin likeverdige verdi, og bevarte dens antall vilkår. Således som PA hadde n termer, kan vi endre summen, i uttrykket ovenfor, ved en multiplikasjon og løse ligning å finne:

2S_Nei = (a₁ + den_Nei) + (a₁ + den_Nei) +... + (den₁ + den_Nei) + (a₁ + den_Nei)

2S_Nei = n (a₁ + den_Nei)

s_Nei = på₁ + den_Nei)
2

Dette er nøyaktig formelen som brukes til å legge til Nei første vilkår for en PA.

Eksempel

Gitt P.A (1, 2, 3, 4), bestem summen av de første 100 vilkårene.

Løsning:

Vi må finne begrepet a₁₀₀. For dette vil vi bruke generell begrepsformel av en PA:

De_Nei = den₁ + (n - 1) r

De₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

De₁₀₀ = 1 + 99

De₁₀₀ = 100

Nå er formelen for summen av de første n-begrepene:

s_Nei = på₁ + den_Nei)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk

Vil du referere til denne teksten i et skole- eller akademisk arbeid? Se:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon"; Brasilskolen. Tilgjengelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm. Tilgang 28. juni 2021.