På trigonometriske funksjonerer funksjonene sinus, cosinus og tangens. Alle trigonometriske funksjoner relaterer verdien til vinkel i grader eller radianer med verdien av det trigonometriske forholdet, et forhold som kan gjøres gjennom studiet av den trigonometriske syklusen. Med den individuelle studien av hver av de trigonometriske funksjonene er det mulig å fremstille representasjonen graf, studer tegnet på funksjonen for hver av kvadrantene, blant andre funksjoner viktig.
Les også: De 4 mest gjorde feilene i tgrunnleggende stivhet
Hva er trigonometriske funksjoner?
De vanligste trigonometriske funksjonene er sinusfunksjonen, cosinusfunksjonen og tangensfunksjonen. Studien deres er knyttet til trigonometrisk syklus.
For hver vinkelverdi er det en enkelt sinus- og cosinusverdi. Trigonometriske funksjoner er ikke noe mer enn forholdet mellom vinkelen og verdien av det trigonometriske forholdet for den vinkelen. Husk at verdien av denne vinkelen kan gis i radianer eller grader, og at verdien av sinus og cosinus alltid er a ekte nummer mellom -1 og 1.
Merk på bildet at, for hver vinkel innrømmer cosinus og sinusm en verdi. Det er basert på studien av hver av de trigonometriske funksjonene at vi observerer forholdet mellom vinkelverdien og den trigonometriske forholdsverdien.
Les også: Hva er de bemerkelsesverdige vinklene?
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
cosinus funksjon
Kosinusfunksjonen er funksjonen f: R → R, hvis dannelseslov er f(x) = cos (x). Som cosinus i en vinkel er alltid et tall mellom 1 og -1, deretter -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Domene
Domenet til cosinusfunksjonen er sett med reelle tall, fordi det ikke er noen begrensning på verdien av x, hvor x er vinkelen i radianer. For hvert reelle tall kan du finne verdien av cos (x), så Df= EN.
Bilde
Vi vet at motdomenet til cosinusfunksjonen er settet med reelle tall, men når vi analyserer bildet av funksjonen, er det mulig å se at det er alltid en verdi større enn eller lik -1 og mindre enn eller lik 1, siden den trigonometriske syklusen har radius 1, så den største verdien cosinusfunksjonen kan ta er 1, og på samme måte er den minste verdien den kan ta -1. Im = [-1, 1]
Kosinusfunksjonsgraf
Grafen for cosinusfunksjonen erinneholdt imellom straightsy = -1 og y = 1. Husk at dette skjer fordi bildet av funksjonen alltid er et tall mellom -1 og 1 og har en økende del og avtagende del, som vi kan se nedenfor:
Ved å matche vinkelverdien med den trigonometriske forholdsverdien, kan du se det grafikken har en syklisk oppførsel, det vil si atferd alltid gjentar seg med jevne mellomrom. Grafen for cosinusfunksjonen er kjent som cosinus.
Signal
Vi vet at, i den trigonometriske syklusen, cosinus har positive verdieri I- og IV-kvadranten. Den første kvadranten er mellom 0 ° og 90 °, og den fjerde kvadranten er mellom 270 ° og 360 °. I radianer er funksjonen positiv for verdier på x mellom 0 og π / 2 og mellom 3π / 2 og 2π.
Kosinusfunksjonen har negative verdieri II og III kvadranterdet vil si at vinkelen er mellom 90 ° og 270 °. I radianer, for at cosinusfunksjonen skal være negativ, er x mellom π / 2 og 3π / 2.
Cosinus funksjon periode
Grafen for cosinusfunksjonen har a 2π periode. Analyserer er det mulig å se at grafen er inneholdt i området fra 0 til 2π. For verdier før eller etter dette området gjentas grafen.
Paritet
Kosinusfunksjonen regnes som en jevn funksjon, da det er symmetri i grafen med hensyn til y-aksen. Når en funksjon blir vurdert jevn, må vi f (x) = f (-x), det vil si cos (x) = cos (-x).
Bemerkelsesverdige buer av cosinusfunksjonen
La oss se på cosinusverdien for hovedvinklene:
Se også: Sekant, cosekant og cotangens - inverse trigonometriske forhold mellom sinus, cosinus og tangens
sinusfunksjon
Kosinusfunksjonen er funksjonen f: R → R, hvis dannelseslov er f(x) = sin (x). Som sinus av en vinkel, akkurat som cosinus, er alltid et tall mellom 1 og -1, deretter -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
Domene
Domenet til sinusfunksjonen er settet med reelle tall. Funksjonen f(x) = sin (x) er definert for alle reelle tall, så Df= EN.
Bilde
Sinusfunksjonsbildet har maksimal verdi i f(x) = 1 og minimumsverdi nårf (x) = -1. Så bildet av funksjonen er det virkelige området [-1, 1].
sinusfunksjon graf
Grafen til sinusfunksjonen den er også begrenset av de horisontale linjene y = -1 og y = 1. Oppførselen er lik den for den periodiske sinusfunksjonen, med økende intervaller og synkende intervaller. Se den grafiske representasjonen av sinusfunksjonen i det kartesiske planet nedenfor:
Grafen til sinusfunksjonen er også periodisk og er kjent som en sinus.
Signal
I motsetning til cosinusfunksjonen, sinusfunksjonen har positive verdier is kvadrants I og II først, det vil si for vinkler mellom 0 ° og 180 °. I radianer er funksjonen positiv for verdier mellom 0 og π.
Sinusfunksjonen har negative verdieri IIJeg og IV kvadrantsdet vil si at vinkelen er mellom 180 ° og 360 °. I radianer, for at sinusfunksjonen skal være negativ, er x mellom π og 2π.
Cosinus funksjon periode
Grafen til sinusfunksjonen har a periode på 2π. Dette betyr at, etter eller før intervallet fra 0 til 2π, er grafen periodisk, det vil si at den gjentar seg selv.
Paritet
Sinusfunksjonen regnes som en yrke jeg erpar, ettersom det er symmetri i grafen i forhold til tverrsnittet av oddetallene. Når en funksjon anses å være merkelig, må vi f (x) = -f (x), det vil si sin (-x) = -sin (x).
Merkbare buer av sinusfunksjonen
La oss se på sinusverdien for hovedvinklene:
Tangentfunksjon
Vi vet det tangenten er grunnen til mellom sinus og cosinus. I motsetning til de to foregående trigonometriske funksjonene har tangensfunksjonen verken en maksimums- eller en minimumsverdi. Det er også begrensninger for domenet, men loven om dannelse av tangensfunksjonen er f(x) = brunfarget (x).
Domene
Tangensfunksjonen har begrensninger for sitt domene, da den dannes av forholdet mellom sinus og cosinus, det er ingen verdier for tangens når cos (x) = 0. Veier i den trigonometriske syklusen fra 0º til 360 °, er ikke tangensfunksjonen definert for 90 ° og 270 ° vinklene, da dette er verdiene der cosinus er lik 0. Når det er vinkler som er større enn en full revolusjon, er ikke alle de der cosinusverdien er 0 en del av domenet til cosinusfunksjonen.
Bilde
I motsetning til sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen, bildet av tangensfunksjonen er settet med reelle tall, det vil si at den ikke er begrenset og har ingen maksimums- eller minimumsverdi. Im = R
Tangentfunksjonsgraf
Tangensfunksjonen er også periodisk som sinus- og cosinusfunksjonene, det vil si at den alltid blir gjentatt. Når vi sammenligner:
Signal
tangensfunksjonen har en positiv verdi for odde kvadranter, det vil si Jeg og III kvadranter. For vinkler mellom 0º og 90º og vinkler mellom 180º og 270º har funksjonen positive verdier. I radianer må verdien av x være mellom 0 og π / 2 eller π og 3π / 2.
Tidsforløpet
Perioden for tangensfunksjonen er også forskjellig fra sinus- og cosinusfunksjonene. O perioden for tangensfunksjonen er π.
Paritet
tangensfunksjonen é en merkelig funksjon, fordi tan (-x) = -tan (x), så det er symmetri i grafen med hensyn til opprinnelsen til Kartesisk fly.
Bemerkelsesverdige buer med tangensfunksjonen
La oss se på tangensverdien for hovedvinklene:
Se også: Hvordan finne sinus og cosinus av supplerende vinkler?
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Enem 2017) Solstråler når overflaten til en innsjø og danner en vinkel x med overflaten, som vist på figuren.
Under visse forhold kan det antas at lysstrålen til disse strålene på vannoverflaten, gis omtrent ved at I (x) = k · sin (x), k er konstant, og antar at X er mellom 0 ° og 90º.
Når x = 30º, reduseres lysstyrken til hvor stor prosentandel av dens maksimale verdi?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Vedtak
Alternativ B
I området fra 0º til 90º har sinusfunksjonen den høyeste verdien når x = 90º, så vi må:
i = k · sin (90º)
i = k · 1
i = k
Nå, når x = 30º, må vi:
i = k · uten (30.)
i = k · 1/2
i = k / 2
Merk at intensiteten i er redusert med halvparten, dvs. 50%.
Spørsmål 2 - (Enem 2015) I følge det brasilianske instituttet for geografi og statistikk (IBGE) er sesongbaserte produkter de som presenterer veldefinerte sykluser av produksjon, forbruk og pris. Kort fortalt er det tider på året da tilgjengeligheten i detaljmarkeder er knapp, med høye priser, noen ganger er det rikelig, med lavere priser, som skjer i måneden med maksimal produksjon av innhøsting. Fra en historisk serie ble det observert at prisen P, i reais, på kiloet til et bestemt sesongprodukt kan beskrives ved funksjonen:
Hvor x representerer året av året, der x = 1 assosiert med januar måned, x = 2, med februar måned, og så videre, til x = 12, assosiert med desember måned.
I høsten er måneden for maksimal produksjon av dette produktet
A) januar.
B) april.
C) juni.
D) juli.
E) oktober.
Vedtak
Alternativ D
Innhøstingen innrømmer maksimal produksjon når prisen er lavest, vi vet at cosinusfunksjonen antar sin minimumsverdi når cos (x) = -1.
Vinkelen som har en cos-verdi på -1 er vinkelen π. Så vinkelargumentet må være lik π, så vi må:
Måned 7 er juli måned.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
