DE algebraisk uttrykk faktorisering består av å skrive et algebraisk uttrykk i produktform. I praktiske tilfeller, det vil si i løsningen på noen problemer som involverer algebraiske uttrykk, faktorisering er ekstremt nyttig fordi det i de fleste situasjoner forenkler det bearbeidede uttrykket.
For å utføre faktorisering av algebraiske uttrykk, vil vi bruke et veldig viktig resultat i matematikk kalt grunnleggende regning om regning, som sier at ethvert heltall større enn 1 kan skrives som et produkt av primtall, Se:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Vi fant bare ut tallene 121 og 60.
Les også: Nedbrytning av et tall i hovedfaktorer
Metoder for å faktorisere algebraiske uttrykk
Nå vil vi se de viktigste faktoriseringsmetodene, de mest brukte vil vi gjøre en kort geometrisk begrunnelse. Se:
Bevisfaktoring
Tenk på rektangelet:
Merk at rektangel blå pluss arealet av det grønne rektangelet resulterer i et større rektangel. La oss se på hvert av disse områdene:
DEBLÅ = b · x
DEGRØNN = b · y
DESTØRRE = b · (x + y)
Så vi må:
DESTØRRE = ABLÅ + AGRØNN
b (x + y) = bx + av
Eksempler
De) For å faktorisere uttrykket: 12x + 24y.
Merk at 12 er faktoren i bevis, siden den vises i begge pakker, så for å bestemme tallene som går innenfor parentes, er det nok dele hver pakke etter bevisfaktoren.
12x: 12 = x
24 år: 12 = 2y
12x + 24y = 12 · (x + 2y)
B) Å faktor uttrykk 21ab2 - 702B.
På samme måte bestemmes først bevisfaktoren, det vil si faktoren som gjentas i pakkene. Se at fra den numeriske delen har vi 7 som en felles faktor, siden det er den som deler begge tallene. Nå, når det gjelder den bokstavelige delen, se at bare faktoren blir gjentatt abDerfor er bevisfaktoren: 7ab.
21ab2 - 702b = 7ab (3b - 10De)
Les også: Polynomial divisjon: hvordan gjør jeg det?
Faktoring ved gruppering
Faktoriseringen ved gruppering er som følge av fakturering av bevis, den eneste forskjellen er at, i stedet for å ha et monomium som en felles faktor eller en bevisfaktor, vil vi ha en polynom, se eksemplet:
Tenk på uttrykket (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Merk at den vanlige faktoren er binomialet (a + b),derfor er den fakturerte formen for det forrige uttrykket:
(a + b) · (Xy + wz2)
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
forskjell mellom to firkanter
Tenk på to tall a og b når vi har a forskjell av kvadratet av disse tallene, det vil si2 - B2, slik at vi kan skrive dem som produkt av sum for forskjell, dvs:
De2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Eksempler
De) Å faktorisere uttrykket x2 - y2.
Vi kan bruke forskjellen mellom to firkanter, så:
x2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) Å faktor 20202 – 2.0192.
Vi kan bruke forskjellen mellom to firkanter, så:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomial av det perfekte torget
Ta neste firkant fra siden (a + b) og legg merke til områdene av rutene og rektanglene som er dannet inni den.
Se området torget større er gitt av (a + b)2, men på den annen side kan området til det største torget oppnås ved å legge til firkanter og rektangler inni det, slik:
(a + b)2 = den2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = den2+ 2b + b2
(a + b)2 = den2 + 2ab + b2
På samme måte må vi:
(a - b)2 = den2 - 2ab + b2
Eksempel
Tenk på uttrykket x2 + 12x + 36.
For å faktorisere et uttrykk av denne typen, bare identifiser koeffisienten til variabelen x og den uavhengige koeffisienten, og sammenlign med den gitte formelen, se:
x2 + 12x + 36
De2 + 2ab + b2
Gjør sammenligningene, se at x = a, 2b = 12 og b2 = 36; av likhetene har vi at b = 6, så det faktoriserte uttrykket er:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
High School Trinomial
Tenk på øksen trinomial2 + bx + c. Den fakturerte formen finner du ved hjelp av røttene dine, det vil si verdiene til x som nullstiller det uttrykket. For å bestemme verdiene som gjør dette uttrykket null, løser du bare ligningsøksen2 + bx + c = 0 ved hjelp av hvilken metode du synes er praktisk. Her trekker vi frem den mest kjente metoden: Bhaskara-metoden.
Den fakturerte formen for øksetrin2 + bx + c er:
øks2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Eksempel
Tenk på uttrykket x2 + x - 20.
Det første trinnet er å bestemme røttene til x-ligningen.2 + x - 20 = 0.
Så den fakturerte formen for uttrykket x2 + x - 20 er:
(x - 4) · (x + 5)
Kube av forskjellen mellom to tall
Kuben til forskjellen mellom to tall a og b er gitt av:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Kube av summen av to tall
Tilsvarende har vi det (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , snart:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Cefet-MG) Der tallet n = 6842 – 6832, er summen av sifrene til n:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Vedtak
Alternativ d. For å bestemme summen av sifrene til n, faktoriserer vi først uttrykket, siden beregning av kvadratene og deretter trekking er unødvendig arbeid. Med utgangspunkt i uttrykket ved hjelp av forskjellen mellom to firkanter, har vi:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1367 · 1
n = 1367
Derfor blir summen av sifrene til n gitt med 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Spørsmål 2 - (Modified Insper-SP) Bestem verdien av uttrykket:
Vedtak
For å gjøre notasjonen enklere, la oss nevne a = 2009 og b = 2. husk at 22 = 4, så vi må:
Legg merke til at vi i telleren for brøken har forskjellen mellom to firkanter, slik at vi kan skrive2 - B2 = (a + b) (a - b). Snart:
a - b = 2009-2 = 2007.
av Robson Luiz
Matematikklærer
