Trigonometriske funksjoner i halvbuen


trigonometriske funksjoner, sinus, cosinus og tangens, av lysbuehalvdelen kan fås fra de trigonometriske funksjonene til dobbeltbuen.

Gitt en målebue \ dpi {120} \ alfa, den dobbelte buen er buen \ dpi {120} 2 \ alfa og den halve buen er buen \ dpi {120} \ alpha / 2.

Av to bue tilleggsformler, har vi de trigonometriske funksjonene til dobbeltbuen:

Sine:

\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}

cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}
Tangent:
\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}

Fra disse formlene vil vi vise formlene for halvbue trigonometriske funksjoner.

Trigonometriske funksjoner i halvbuen

En av grunnleggende relasjoner av trigonometri er det:

\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}

Hvor får vi:

\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}
\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}

erstatte \ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha} i formelen til cosinus til dobbeltbuen, må vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}
Ta en titt på noen gratis kurs
  • Gratis online inkluderende utdanningskurs
  • Gratis online lekebibliotek og læringskurs
  • Gratis online matematikkspillkurs i tidlig barndom
  • Gratis online pedagogisk kulturverkstedskurs
\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

Derfor:\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}

erstatte \ dpi {120} \ alfa per \ dpi {120} \ alpha / 2 i formelen ovenfor og trekker ut kvadratroten på begge sider, har vi formelen for cosinus av buehalvdel:

\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Merk: Skiltet i formelen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten til lysbuehalvdelen.

Skifter nå ut \ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha} i formelen til cosinus til dobbeltbuen, må vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}

Derfor:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}

erstatte \ dpi {120} \ alfa per \ dpi {120} \ alpha / 2 i formelen ovenfor og trekker ut kvadratroten på begge sider, har vi formelen for sinus av buehalvdel:

\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Merk: Skiltet i formelen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten til lysbuehalvdelen.

Til slutt kan vi oppnå tangens til lysbuehalvdelen ved å dele sinusen til lysbuehalvdelen med cosinus til lysbuehalvdelen:

\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}

Derfor er formelen til halv buetangens é:

\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}

Merk: Skiltet i formelen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten til lysbuehalvdelen.

Du kan også være interessert:

  • trigonometrisk sirkel
  • trigonometrisk tabell
  • Trigonometriske forhold
  • syndeloven
  • cosinus lov

Passordet er sendt til e-posten din.

Er bokstaven Y en vokal eller en konsonant?

På vokaler og konsonanter de er fonemer, det vil si minimumsenheten til språket. Når artikulert a...

read more

Ord med al, el, il, ol, ul

I følge Institute for Research and Development in Language Policy (IPOL), har Portugisisk det er ...

read more

Hovedverk av Vinicius de Moraes

Kjent brasiliansk dikter, journalist, dramatiker, diplomat og sanger Marcus Vinicius de Moraes bl...

read more