Trigonometriske funksjoner i halvbuen

På trigonometriske funksjoner, sinus, cosinus og tangens, av lysbuehalvdelen kan fås fra de trigonometriske funksjonene til dobbeltbuen.

Gitt en målebue $\ dpi {120} \ alfa$ , den dobbelte buen er buen $\ dpi {120} 2 \ alfa$ og den halve buen er buen $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Av to bue tilleggsformler, har vi de trigonometriske funksjonene til dobbeltbuen:

Sine:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

cosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangent:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Fra disse formlene vil vi vise formlene for halvbue trigonometriske funksjoner.

Trigonometriske funksjoner i halvbuen

En av grunnleggende relasjoner av trigonometri er det:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Hvor får vi:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

erstatte $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ i formelen til cosinus til dobbeltbuen, må vi:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Ta en titt på noen gratis kurs

Gratis online inkluderende utdanningskurs
Gratis online lekebibliotek og læringskurs
Gratis online matematikkspillkurs i tidlig barndom
Gratis online pedagogisk kulturverkstedskurs

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Derfor: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

erstatte $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alpha / 2$ i formelen ovenfor og trekker ut kvadratroten på begge sider, har vi formelen for cosinus av buehalvdel:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Merk: Skiltet i formelen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten til lysbuehalvdelen.

Skifter nå ut $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ i formelen til cosinus til dobbeltbuen, må vi:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Derfor:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

erstatte $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alpha / 2$ i formelen ovenfor og trekker ut kvadratroten på begge sider, har vi formelen for sinus av buehalvdel:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Merk: Skiltet i formelen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten til lysbuehalvdelen.

Til slutt kan vi oppnå tangens til lysbuehalvdelen ved å dele sinusen til lysbuehalvdelen med cosinus til lysbuehalvdelen:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Derfor er formelen til halv buetangens é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Merk: Skiltet i formelen vil være positivt eller negativt i henhold til kvadranten til lysbuehalvdelen.

Du kan også være interessert:

trigonometrisk sirkel
trigonometrisk tabell
Trigonometriske forhold
syndeloven
cosinus lov

Passordet er sendt til e-posten din.

Trigonometriske funksjoner i halvbuen

Trigonometriske funksjoner i halvbuen

Omkrets av flate figurer

Hvem var Melkisedek?

Øvelser på vannsyklusen