En polynomligning er preget av å ha en polynom lik null. Det kan preges av graden av polynom, og jo større denne graden er, jo større er vanskelighetsgraden med å finne løsningen eller roten.
Det er også viktig, i denne sammenhengen, å forstå hva algebraens grunnleggende setning er, som sier det hver polynomligning har minst en kompleks løsning, med andre ord: en ligning av grad en vil ha minst en løsning, en ligning av grad to vil ha minst to løsninger, og så videre.
Les også: Hva er klasser av polynomer?
Hva er en polynomligning
En polynomligning er preget av å ha et polynom som er lik null, og hvert uttrykk av typen P (x) = 0 er en polynomligning, hvor P (x) er et polynom. Se nedenfor det generelle tilfellet av en polynomligning og noen eksempler.
VurderNei, an -1, a n -2,..., The1, a0 og x reelle tall, og n er et positivt heltall, er følgende uttrykk en polynomligning av grad n.
- Eksempel
Følgende ligninger er polynomer.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
I likhet med polynomer har polynomiske ligninger sin grad. For å bestemme graden av en polynomligning, bare finn den høyeste effekten hvis koeffisient er forskjellig fra null. Derfor er ligningene til de forrige elementene henholdsvis:
a) Ligningen er fra fjerde grad:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ligningen er fra videregående skole:5x2 – 3 = 0.
c) Ligningen er fra første grad:6x – 1 = 0.
d) Ligningen er fra Tredje grad: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Hvordan løse en polynomligning?
Metoden for å løse en polynomligning avhenger av graden. Jo større grad en ligning har, desto vanskeligere er det å løse den. I denne artikkelen vil vi vise løsningsmetoden for polynomiske ligninger av første grad, andre grad og bisquare.
Polynomligning av første grad
En polynomligning av første grad er beskrevet av a grad 1 polynom. Så vi kan skrive en ligning av første grad, generelt, som følger.
Tenk på to reelle tall De og B med a ≠ 0 er følgende uttrykk en polynomligning av første grad:
øks + b = 0
For å løse denne ligningen, må vi bruke ekvivalensprinsipp, det vil si at alt som drives på den ene siden av likhet, også skal drives på den andre siden. For å bestemme løsningen på en ligning av første grad, må vi isoler det ukjente. For dette er det første trinnet å eliminere B på venstre side av likestillingen, og da trekke fraårer b på begge sider av likestillingen.
øks + b - B = 0 - B
øks = - b
Merk at verdien av det ukjente x ikke er isolert, koeffisienten a må elimineres fra venstre side av likheten, og for det, la oss dele begge sider med De.
- Eksempel
Løs ligningen 5x + 25 = 0.
For å løse problemet må vi bruke ekvivalensprinsippet. For å lette prosessen vil vi utelate skrivingen av operasjonen på venstre side av likheten, være tilsvarende da å si at vi skal “passere” tallet til den andre siden, endre tegnet (omvendt operasjon).
Lær mer om å løse denne typen ligning ved å gå til teksten vår: Første grads ligning med en ukjent.
Polynomligning av andre grad
En polynomligning av andre grad har karakteristikken til a grad to polynom. Så vurder a, b og c reelle tall med a ≠ 0. En andregrads ligning er gitt av:
øks2 + bx + c = 0
Løsningen din kan bestemmes ved hjelp av metoden bhaskara eller ved factoring. Hvis du vil vite mer om ligninger av denne typen, kan du lese: Ekvhandling av ssekund grau.
→ Bhaskara-metoden
Ved å bruke Bhaskaras metode er dens røtter gitt av følgende formel:
- Eksempel
Bestem løsningen på ligningen x2 - 3x + 2 = 0.
Merk at koeffisientene til ligningen er henholdsvis a = 1, b = - 3 og c = 2. Ved å erstatte disse verdiene i formelen, må vi:
→ Faktorisering
Merk at det er mulig å faktorisere uttrykket x2 - 3x + 2 = 0 med ideen om polynomfaktorisering.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Legg merke til nå at vi har et produkt som er lik null, og et produkt er lik null bare hvis en av faktorene er lik null, så vi må:
x - 2 = 0
x = 2
eller
x - 1 = 0
x = 1
Se at vi fant løsningen på ligningen ved å bruke to forskjellige metoder.
bi-firkantligning
DE bisquare ligning det er en spesielt tilfelle av en polynomligning av fjerde grad, vanligvis vil en fjerde graders ligning skrives i form:
øks4 + bx3 + boks2 + dx + e = 0
hvor tallene a B C D og og er ekte med en ≠ 0. En fjerdegradsligning betraktes som biskvare når koeffisientene b = d = 0, det vil si ligningen er i form:
øks4 + boks2 + og = 0
Se i eksemplet nedenfor hvordan du løser denne ligningen.
- Eksempel
Løs x-ligningen4 - 10x2 + 9 = 0.
For å løse ligningen skal vi bruke følgende ukjente endring, og når ligningen er bisquare, skal vi gjøre den endringen.
x2 = s
Merk at x fra den tokvadratiske ligningen4 = (x2)2 og derfor må vi:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Se at vi nå har en polynomligning av andre grad, og at vi kan bruke Bhaskaras metode, slik:
Vi må imidlertid huske at det i begynnelsen av øvelsen ble gjort en ukjent endring, så vi må bruke verdien som er funnet i erstatningen.
x2 = s
For p = 9 må vi:
x2 = 9
x ’= 3
eller
x ’’ = - 3
For p = 1
x2 = 1
x ’= 1
eller
x ’’ = - 1
Derfor er løsningssettet til bisquare ligningen:
S = {3, –3, 1, –1}
Les også: Briot-Ruffinis praktiske enhet - deling av polynomer
Fundamental Theorem of Algebra (TFA)
Den grunnleggende teoremet om algebra (TFA), bevist av Gauss i 1799, sier at hver polynomligning som følger har minst en kompleks rot.
Roten til en polynomligning er løsningen, det vil si at den ukjente verdien er det som gjør likheten sann. For eksempel har en førstegradsligning en rot som allerede er bestemt, det samme gjør en andregrads ligning, som har minst to røtter, og en bisquare, som har minst fire røtter.
løste øvelser
Spørsmål 1 - Bestem verdien av x som gjør likheten sann.
2x - 8 = 3x + 7
Vedtak
Merk at for å løse ligningen, er det nødvendig å organisere den, det vil si la alle ukjente være på venstre side av likheten.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Ved ekvivalensprinsippet kan vi multiplisere begge sider av likheten med det samme tallet, og siden vi vil finne ut verdien av x, vil vi multiplisere begge sider med –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
spørsmål 2 - Marcos har R $ 20 mer enn João. Sammen klarer de å kjøpe to par joggesko, koster R $ 80 hvert par og uten penger igjen. Hvor mange reais har John?
Vedtak
Tenk på at Mark har x reais, ettersom John har 20 reais mer, så han har x + 20.
Merker → x reals
João → (x + 20) reais
hvordan kjøpte de to par joggesko som koster 80 reais hver, så hvis vi setter sammen delene av hver og en, må vi:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Derfor hadde Mark 70 reais, og João, 90 reais.
av Robson Luiz
Matematikklærer
