Aritmetisk progresjon (P.A.)

DE Aritmetisk progresjon (P.A.) er en sekvens av tall der forskjellen mellom to påfølgende ord alltid er den samme. Denne konstante forskjellen kalles P.A.

Fra det andre elementet i sekvensen og utover er tallene som vises resultatet av summen av konstanten med verdien til det forrige elementet.

Dette er det som skiller den fra den geometriske progresjonen (PG), fordi i denne multipliseres tallene med forholdet, mens i den aritmetiske progresjonen blir de lagt til.

Aritmetiske progresjoner kan ha et fast antall ord (endelig P.A.) eller et uendelig antall ord (uendelig P.A.).

For å indikere at en sekvens fortsetter på ubestemt tid bruker vi ellipser, for eksempel:

• sekvensen (4, 7, 10, 13, 16, ...) er en uendelig P.A.
• sekvensen (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) er en endelig P.A.

Hver term i en P.A. identifiseres av posisjonen den inntar i sekvensen, og for å representere hvert begrep bruker vi en bokstav (vanligvis bokstaven De) etterfulgt av et tall som indikerer posisjonen i sekvensen.

For eksempel begrepet

De₄ i P.A (2, 4, 6, 8, 10) er tallet 8, da det er tallet som opptar 4. posisjon i sekvensen.

Klassifisering av en P.A.

I henhold til forholdsverdien klassifiseres aritmetiske progresjoner i:

• Konstant: når forholdet er lik null. For eksempel: (4, 4, 4, 4, 4 ...), hvor r = 0.
• Vokser: når forholdet er større enn null. For eksempel: (2, 4, 6, 8,10 ...), hvor r = 2.
• synkende: når forholdet er mindre enn null (15, 10, 5, 0, - 5, ...), hvor r = - 5

P.A. eiendommer

1. eiendom:

I en endelig P.A. er summen av to termer like langt fra ytterpunktene som summen av ytterpunktene.

Eksempel

2. eiendom:

Tatt i betraktning tre sammenhengende termer av en P.A., vil mellomperioden være lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre begrepene.

Eksempel

3. eiendom:

I en endelig P.A. med ulikt antall termer, vil det sentrale begrepet være lik det aritmetiske gjennomsnittet mellom begrep som er like langt fra det. Denne eiendommen kommer fra den første.

Generell terminformel

Hvor,

et: begrep vi ønsker å beregne
a1: første periode av P.A.
n: posisjonen til begrepet vi vil oppdage
r: grunn

Formelforklaring

Siden forholdet mellom en PA er konstant, kan vi beregne verdien fra alle påfølgende ord, det vil si:

Derfor kan vi finne verdien av P.A.s andre periode ved å gjøre:

For å finne den tredje termen vil vi bruke samme beregning:

Erstatte verdien av en₂, som vi fant tidligere, har vi:

Hvis vi følger samme resonnement, kan vi finne:

Når vi observerer resultatene som er funnet, bemerker vi at hver periode vil være lik summen av den første termen med forholdet multiplisert med forrige posisjon.

Denne beregningen uttrykkes gjennom formelen for den generelle betegnelsen P.A., som lar oss kjenne hvilket som helst element i en aritmetisk progresjon.

Eksempel

Beregn 10. termin for P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Løsning

Først må vi identifisere det:

De₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. termin).

Ved å erstatte disse verdiene i formelen for det generelle begrepet har vi:

De_Nei = den₁ + (n - 1). r
De₁₀ = 26 + (10-1). 5
De₁₀ = 26 + 9 .5
De₁₀ = 71

Derfor er den tiende termen for den angitte aritmetiske progresjonen lik 71.

Generell begrepsformel fra ethvert k-begrep

Ofte, for å definere et generisk begrep, som vi kaller en, har vi ikke den første termen a1, men vi kjenner noen andre begreper, som vi kaller ak.

Vi kan bruke den generelle begrepsformelen fra hvilket som helst k-begrep:

Merk at den eneste forskjellen var endringen fra indeks 1 i den første formelen til k i den andre.

Å være,

an: den niende termen til P.A. (et begrep i hvilken som helst n-posisjon)
ak: den første termen til en P.A. (et begrep i hvilken som helst k-posisjon)
r: årsaken

Summen av vilkårene for en P.A.

For å finne summen av vilkårene for en endelig P.A., bruk bare formelen:

Hvor,

s_Nei: summen av de første n vilkårene i P.A.
De₁: første periode av P.A.
De_Nei: opptar den nte posisjonen i sekvensen (et begrep i posisjon n)
Nei: terminstilling

Les også om PA og PG.

Trening løst

Øvelse 1

PUC / RJ - 2018

Å vite at tallene i sekvensen (y, 7, z, 15) er i aritmetisk progresjon, hva er summen y + z verdt?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Se Svar

For å finne verdien av z, kan vi bruke egenskapen som sier at når vi har tre sammenhengende termer, vil midtbegrepet være lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre. Så vi har:

Hvis z er lik 11, vil forholdet være lik:

r = 11 - 7 = 4

På denne måten vil y være lik:

y = 7 - 4 = 3

Derfor:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternativ: b) 14

Øvelse 2

IFRS - 2017

I figuren nedenfor har vi en sekvens med rektangler, alle i høyden a. Basen til det første rektangelet er b og av påfølgende rektangler er det verdien av basen til den forrige pluss en måleenhet. Dermed er basen til det andre rektangelet b + 1 og det tredje er b + 2 og så videre.

Tenk på uttalelsene nedenfor.

I - Sekvensen til rektangelområdene er en aritmetisk progresjon av forholdet 1.
II - Sekvensen til rektangelområdene er en aritmetisk progresjon av forholdet a.
III - Sekvensen til områdene til rektanglene er en geometrisk progresjon av forholdet a.
IV - Arealet til det niende rektangelet (A_Nei) kan fås med formel A._Nei = a. (b + n - 1).

Sjekk alternativet som inneholder riktig påstand (er).

der.
b) II.
c) III.
d) II og IV.
e) III og IV.

Se Svar

Når vi beregner arealet til rektanglene, har vi:

A = a. B
DE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
DE₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2.
DE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Fra uttrykkene som er funnet, bemerker vi at sekvensen danner en P.A. med forholdet lik De. Fortsetter vi sekvensen, vil vi finne området til det niende rektangelet, gitt av:

DE_Nei= a. b + (n - 1). a
DE_Nei = a. b + a. på

å sette De som bevis har vi:

DE_Nei = a (b + n - 1)

Alternativ: d) II og IV.

Øvelse 3

UERJ

Innrømme at det holdes et fotballmesterskap der advarslene mottatt av idrettsutøvere kun er representert med gule kort. Disse kortene blir omgjort til bøter, i henhold til følgende kriterier:

• De to første kortene som mottas genererer ikke bøter;
• Det tredje kortet genererer en bot på R $ 500,00.
• Følgende kort genererer bøter hvis verdier alltid økes med R $ 500,00 i forhold til verdien av forrige bot.

Tabellen viser bøter relatert til de fem første kortene som ble brukt på en idrettsutøver.

Tenk på en atlet som mottok 13 gule kort under mesterskapet. Det totale beløpet i reais av bøtene generert av alle disse kortene er:

a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Se Svar

Riktig svar: b) 33 000

Fra og med det tredje gule kortet øker bøten i en P.A. med et forhold på R $ 500,00. Med tanke på den første perioden, a1, med verdien av det tredje kortet, R $ 500,00.

For å bestemme totalbeløpet for bøtene, må vi bruke formelen for summen av vilkårene i P.A.

Ettersom utøveren har 13 gule kort, men de to første ikke genererer bøter, vil vi lage en P.A. på 13-2 termer, det vil si 11 termer.

Dermed har vi følgende verdier:

a1 = 500
n = 11
r = 500

For å finne verdien av den nte termen, a11, bruker vi den generelle termformelen.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Bruk av formelen for summen av vilkårene til en P.A.

Løs flere øvelser i:

Aritmetisk progresjon - Øvelser

Lær mer ved å lese:

• Numerisk sekvens
• Geometrisk progresjon
• Geometrisk progresjon - Øvelser
• Matematikkformler