Lineære systemer: hva de er, hvordan du skal løse, typer

Løse systemerlineær det er en veldig tilbakevendende oppgave for studier innen naturvitenskap og matematikk. Jakten på ukjente verdier førte til utvikling av metoder for å løse lineære systemer, som tillegg, likhet og substitusjonsmetode for systemer som har to ligninger og to ukjente, og Crammers regel og skalering, som løser lineære systemer med to ligninger, men som er mer praktiske for systemer med flere ligninger. Et lineært system er et sett med to eller flere ligninger med en eller flere ukjente.

Les også:Hva er forholdet mellom matriser og lineære systemer?

Lineære systemer.

lineær ligning

Arbeidet med ligninger eksisterer på grunn av trenger å finne ukjente ukjente verdier. Vi kaller det en ligning når vi har et algebraisk uttrykk med likhet, og det er klassifisert som lineært når den største eksponenten av ukjente er 1, som vist i følgende eksempler:

2x + y = 7 → lineær ligning med to ukjente

a + 4 = -3 → lineær ligning med en ukjent

Generelt kan en lineær ligning beskrives av:

De₁x₁ + den₂x₂ + a3x3... + a_Neix_Nei = c

Vi kjenner som et ligningssystem når det er mer enn en lineær ligning. Vi starter med lineære systemer med to ukjente.

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

Løse lineære systemer

• Lineære systemer med to 1. graders ligninger og to ukjente

For å løse et system med to ligninger og to ukjente er det flere metoder, de tre mest kjente er:

• sammenligningsmetode
• tilleggsmetode
• substitusjonsmetode

Enhver av de tre kan løse et lineært system med to ligninger og to ukjente. Disse metodene er ikke like effektive for systemer med flere ligninger, siden det er andre spesifikke metoder for å løse dem.

• Utskiftningsmetode

Erstatningsmetoden består av isoler en av de ukjente i en av ligningene og utfør substitusjonen i den andre ligningen.

Eksempel:

Første trinn: isoler en av de ukjente.

Vi kaller jeg den første ligningen og II den andre ligningen. Analyser de to, la oss velg det ukjente som er enklest å isolere. Legg merke til at i ligning I → x + 2y = 5, x har ingen koeffisient, noe som gjør det lettere å isolere, så vi skriver om ligning jeg liker dette:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 - 2y

2. trinn: erstatt I i II.

Nå som vi har ligning I med x alene, i ligning II, kan vi erstatte x med 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

Erstatter x med 5 - 2y:

3 (5 - 2 år) - 5 år = 4

Nå som ligningen bare har en ukjent, er det mulig å løse den for å finne verdien av y.

Når vi kjenner verdien av y, finner vi verdien av x ved å erstatte verdien av y i ligning I.

I → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Så løsningen på systemet er S = {3,1}.

• Sammenligningsmetode

Sammenligningsmetoden består av isoler et ukjent i de to ligningene og utlik disse verdiene.

Eksempel:

Første trinn: la jeg være den første ligningen og II den andre, la oss isolere en av de ukjente i I og II. Når vi velger å isolere det ukjente x, må vi:

2. trinn: likestille de to nye ligningene, siden x = x.

Tredje trinn: erstatt verdien av y med -2 ​​i en av ligningene.

x = -4 - 3år

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Så løsningen på dette systemet er settet S = {2, -2}.

Se også: Hva er forskjellen mellom funksjon og ligning?

• tilleggsmetode

Tilleggsmetoden består i å utføre multiplikasjonen av alle vilkårene til en av ligningene, på en slik måte at når legge ligning I til ligning II, en av dens ukjente er lik null.

Eksempel:

Første trinn: multipliser en av ligningene slik at koeffisientene er motsatte.

Merk at hvis vi multipliserer ligning II med 2, har vi 4y i ligning II og -4y i ligning I, og at med vi legger til I + II, vi får 0y, så la oss multiplisere alle ordene i ligning II med 2 slik at dette skje.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. trinn: utfør summen I + 2 · II.

Tredje trinn: erstatt verdien av x = 3 i en av ligningene.

• Lineære systemer med tre 1. graders ligninger og tre ukjente

Når systemet har tre ukjente, vedtar vi andre løsningsmetoder. Alle disse metodene knytter koeffisienter til matriser, og de mest brukte metodene er Crammers regel eller skalering. For oppløsningen i begge metodene er det nødvendig matrisepresentasjonen av systemet, selv 2x2-systemet kan representeres ved hjelp av en matrise. Det er to mulige representasjoner, den komplette matrisen og den ufullstendige matrisen:

Eksempel:

Systemet 

Kan representeres av full matrise

Og for ufullstendig matrise

• Crammer's Rule

For å finne løsninger for et 3x3-system, med ukjente x, y og z, ved hjelp av Crammers regel, er det nødvendig å beregne determinanten for den ufullstendige matrisen og dens variasjoner. Så vi må:

D → determinant for systemets ufullstendige matrise.

D_x → determinant for den ufullstendige matrisen til systemet, og erstatter kolonnen x med kolonnen med uavhengige termer.

D_y → determinant for den ufullstendige matrisen til systemet, og erstatter kolonnen med y med kolonnen med uavhengige termer.

D_z → determinant for systemets ufullstendige matrise, og erstatter kolonnen med z med kolonnen med uavhengige termer.

Så, for å finne verdien av ukjente, må vi først beregne avgjørende faktor D, D_x, D_y tilknyttet systemet.

Eksempel:

Første trinn: regnet ut.

2. trinn: regnet ut_x.

Tredje trinn: da kan vi finne verdien av x, fordi:

4. trinn: regnet ut_y.

5. trinn: da kan vi beregne verdien av y:

6. trinn: nå som vi vet verdien av x og y, kan vi i begge linjer finne verdien av z ved å erstatte verdien av x og y og isolere z. Et annet alternativ er å beregne D_z.

Erstatter x = 0 og y = 2 i den første ligningen:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Derfor er systemløsningen anbudet (0,2, -1).

Også tilgang: Problemløsning ved hjelp av ligningssystemer

• skalering

En annen metode for å løse lineære systemer er skalering, der vi bare bruker den komplette matrisen og operasjonene mellom linjene for å isolere deres ukjente. La oss skalere systemet nedenfor.

Første trinn: skriv den komplette matrisen som representerer systemet.

være L₁, L₂ og jeg₃ henholdsvis linjene 1, 2 og 3 i matrisen, vil vi utføre operasjoner mellom L₁ og jeg₂ og jeg₁ og jeg₃, slik at resultatet gjør at vilkårene i den første kolonnen i andre og tredje rad er lik null.

Når vi analyserer den andre linjen i matrisen, kan vi erstatte den med resultatet av L2 → -2 · L1 + L2, for å nullstille begrepet a21.

De₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

De₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

De₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

De₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Så L₂ vil være 0-3 7-17.

Når vi analyserer den tredje raden i matrisen, kan vi erstatte den med resultatet av L3 → 3L1 + L._2, for å tilbakestille begrepet til_31.

De₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

De₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

De₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

De₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Så L₃ vil være 0 8 -8 24.

Merk at alle kan deles med 8, så L-linjen₃ hold det enkelt, la oss dele det med 8.

L₃ → L₃ : 8 blir: 0 1-1 3.

Så den nye matrisen til den skalerte ligningen vil være:

Nå er målet å tilbakestille kolonne y i tredje rad, vi vil utføre operasjoner mellom L.₂ og jeg₃, med det formål å tilbakestille den andre kolonnen til en av dem.

Vi vil erstatte L3 med L3 → L₂ + 3L₃.

De₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

De₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

De₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

De₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Så L₃ vil være: 0 0 4 -8.

Den nye skalerte matrisen vil være:

Når vi nå representerer denne matrisen som et system igjen, og legger til x, y og z i kolonnene, finner vi følgende:

Vi kan da finne verdien av hver av de ukjente. Når vi analyserer ligning III, må vi:

Hvis z = -2, la oss erstatte verdien av z i den andre ligningen:

Til slutt, i den første ligningen, la oss erstatte verdien av y og z for å finne verdien av x.

Se også: 1. grads ulikhetssystem - hvordan løse det?

lineær systemklassifisering

Et lineært system er et sett med lineære ligninger, som kan ha flere ukjente og flere ligninger. Det er flere metoder for å løse det, uavhengig av antall ligninger. det er tre rangeringer for et lineært system.

• Bestemt mulig system (SPD): når du har en enkelt løsning.
• Ubestemt mulig system (SPI): når den har uendelige løsninger.
• umulig system(SI): når det ikke er noen løsning.

løste øvelser

Spørsmål 1 (IFG 2019) Vurder summen av målingene til en base og høyden i forhold til den basen i en trekant lik 168 cm og forskjellen lik 24 cm. Det er riktig å si at målingene av basen og høyden i forhold til dette basismålet, henholdsvis:

a) 72 cm og 96 cm

b) 144 cm og 24 cm

c) 96 cm og 72 cm

d) 24 cm og 144 cm

Vedtak

Alternativ C.

La h → høyde og b → base, så har vi følgende system:

Etter tilsetningsmetoden må vi:

For å finne verdien av h, la oss erstatte b = 96 cm i den første ligningen:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

spørsmål 2 Den ufullstendige matrisen som representerer følgende lineære system er:

Vedtak

Alternativ C.

Den ufullstendige matrisen er en som har koeffisientene x, y og z, så det vil være en 3x3 matrise. Analysering av alternativene, den som inneholder 3x3 matrisen med de riktige tegnene, er bokstaven C.

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer