Вие ирационални числа предизвика дълбок период на безпокойство у математиците. Днес, вече добре дефинирани, ние познаваме като ирационално число този, чийто десетичното представяне винаги е непериодичен десетичен знак. Основната характеристика на ирационалите и това, което ги прави различни от рационалните числа, е, че те не може да бъде представено чрез a фракция.
Изучаването на ирационални числа се задълбочи, когато при изчисляването на задачи, включващи питагорейската теорема, бяха открити неточни корени. Актът на търсене на решение на тези неточни корени направи съществуването на неточни десятъци забележително периодичен, тоест на числа, чиято десетична част е безкрайна и няма добра последователност. дефинирани. Основните ирационални числа са непериодични десетични знаци, неточни корени и π.
Прочетете също: Квадратен корен - случай на вкореняване, където радикалният индекс е 2
Набор от ирационални числа
Преди изучаването на ирационалните числа бяха изучавани набори от числа
естествен, цели числа и обосновки. Когато се задълбочихме в изследването на правоъгълния триъгълник, стана ясно, че има някои корени, които нямат точно решениепо-специално беше възможно да се види, че неточните коренни решения са числа известни като непериодични десятъци.В разгара на тези вълнения много математици се опитаха да докажат неуспешно, че неточните корени са рационални числа и което може да бъде представено като дроб, но се осъзна, че тези числа не могат да бъдат представени в това форма. Тъй като до този момент множеството от рационални числа не включваше тези числа, възникна необходимостта да се създаде нов набор, известен като набор от ирационални числа.
Числото е ирационално, когато десетичното му представяне е непериодичен десетичен знак. |
Какво представляват ирационалните числа?
За да бъде ирационално число, то трябва да отговаря на дефиницията, т.е. десетичното му представяне е непериодичен десетичен знак. Основната характеристика на непериодичните десетични знаци е, че те не могат да бъдат представени чрез дроб, което показва, че ирационалните числа са противоположни на рационалните числа.
Основните номера с тази функция са корените не са точни.
Примери:
а) √2
б) √5
в) √7
г) √13
Когато търсите неточни коренни решения, тоест, винаги изпълняващи десетичното представяне на тези числа ще намерим непериодичен десетичен знак, който прави тези числа елементи от множеството на ирационален.
В допълнение към неточните корени има и самите непериодични десетични знаци, например, ако изчислим неточни корени, ще намерим непериодичен десетичен знак.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Нерационалните числа обикновено са представени с гръцки букви, тъй като не е възможно да се запишат всичките му десетични знаци.
Първият е π (чете се: pi), присъства при изчисляването на площта и периметъра на кръговете. Има стойност, равна на 3,1415926535…
В допълнение към π, друго много често срещано число е ϕ (прочетено: fi). Той е открит в проблеми, свързани с пропорция златен. Той има стойност, равна на 1.618033 ...
Вижте също: Кои са простите числа?
Не спирайте сега... Има още след рекламата;)
рационално и ирационално число
Когато анализирате набор от числа, важно е да се прави разлика между рационални числа и ирационални числа. Обединението на тези две множества образува един от най-изучаваните множества в математиката, множеството от реални числа, т.е. реални числа това е съединяването на числа, които могат да бъдат представени като дроби (рационални) с числа, които не могат да бъдат представени като дроби (ирационални).
В комплекта на рационални числа, има цели числа, естествените, точните десетични и периодичните десетични знаци.
Примери за рационални числа:
-60 → цяло число
2.5 → точен десетичен знак
5.1111111... → периодичен десетичен знак
Ирационалните числа са непериодични десетични знаци, така че няма число, което да е рационално и ирационално едновременно.
Пример за ирационални числа:
1,123149... → непериодичен десятък
2.769235... → непериодичен десятък
Операции с ирационални числа
събиране и изваждане
НА допълнение и изваждане от две ирационални числа обикновено е просто представен, освен ако не се използва десетично приближение на тези числа, например:
а) √6 + √5
б) √6 - √5
в) 1.414213... + 3.1415926535 ...
Не можем да добавяме или изваждаме стойностите поради радикалите, затова току-що оставихме посочената операция.
В десетичните представления също не е възможно да се извърши точната сума, така че за да добавим две ирационални числа, имаме нужда от рационално приближение., и това представяне се избира според необходимостта от прецизност на тези данни. Колкото повече десетични знаци разглеждаме, толкова по-близо до точната сума получаваме.
Наблюдение:множеството ирационални числа не е затворено за събиране или изваждане, това означава, че сумата от две ирационални числа може да доведе до число, което не е рационално. Например, ако изчислим разликата на ирационално число чрез неговата противоположност, трябва да:
а) √2 - √2 = 0
б) π + (-π) = 0
Знаем, че 0 не е ирационално число.
Умножение и деление
Умножението и разделение на ирационални числа може да се направи, ако представянето е a радикацияобаче, подобно на събирането, в десетично представяне, тоест умножаване или разделяне на две десетични знаци, се изисква рационално приближение на това число.
а) √7 · √5 = √35
б) √32: √2 = √16 = 4
Обърнете внимание също, че в пример b, 4 е рационално число, което означава, че умножението и делението на две ирационални числа не са затворени, т.е.могат да имат рационален резултат.
решени упражнения
Въпрос 1 - Прегледайте следните номера:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Това са ирационални числа:
А) Само I, IV и V
Б) Само II, III и VI
В) Само II, IV и VI
Г) Само I, II, III и VI
Д) Само III, IV, V и VI
Резолюция
Алтернатива Б
I → числото е точно десетично, рационално.
II → числото е непериодичен, ирационален десетичен знак.
III → π е ирационален и неговият двоен, т.е. 2π, също е ирационален.
IV → числото е периодичен, рационален десетичен знак.
V → точен, рационален корен.
VI → коренът не е точен, ирационален.
Въпрос 2 - Моля, преценете следните твърдения:
I - Множеството от реални числа е обединението на рационално и ирационално;
II - Сумата от две ирационални числа може да бъде рационално число;
III - Десятъкът е ирационално число.
Анализирайки твърденията, можем да кажем, че:
А) Единствено твърдение I е вярно.
Б) Вярно е само твърдение II.
В) Вярно е само твърдение III.
Г) Вярно е само твърдение I и II.
Д) Всички твърдения са верни.
Резолюция
Алтернатива D
I → Вярно, защото дефиницията на множеството реални числа е съюзът между рационално и ирационално.
II → Вярно, когато добавим число към противоположното му, в резултат ще имаме числото 0, което е рационално.
III → Фалшивите, непериодични десятъци са ирационални.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
