Триъгълни числа. Познаване на триъгълните числа

Представете си, че играете с топчета, за да образувате триъгълници. Първо можете да помислите, че топката е като малък триъгълник:

•

След това поставяте две топчета под тях и образувате трите върха на a триъгълник:

•
• •

Ако поставите още три топки под тях, те ще образуват друг триъгълник:

•
• •
• • •

При всяка стъпка от добавяне на топки спрямо предварително поставеното количество, винаги ще има образуване на триъгълници. Вижте триъгълника, образуван чрез добавяне на още четири топки:

•
• •
• • •
• • • •

Общият брой топки във всяка стъпка характеризира клас от числа, наречени триъгълни числа. Математикът Карл Фридрих Гаус открива формула, която показва общото количество във всеки триъгълник, където с₁съответства на първия триъгълник, с₂, към втория триъгълник и т.н. Сумите, описани от Гаус, започват с а и, на всеки етап се добавя число, което съответства на една единица над последното добавено число:

с₁ = 1
​с₂= 1 + 2 = 3
с₃ = 1 + 2 + 3 = 6
с₄= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
с₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Резултатите от тези суми бяха триъгълните числа: 1, 3, 6, 10, 15... Имайте предвид, че във всяка от тези суми е установен модел. Като се вгледаме внимателно, можем да видим, че всеки един от тях е a

аритметична прогресия на причина 1. И така, ето го гаусова сума, което установява, че в постоянна сума на съотношението, ако добавим първия елемент към последния, ще получим същия резултат като добавянето на втория елемент към предпоследния. Нека видим как протича процесът на сумата на Гаус за сумите. с₆ и с₇:

Процес на сумата на Гаус, приложен към сбора от триъгълни числа

Не спирай сега... След рекламата има още ;)

ако спре с₆ и с₇ имаме сумите от изображението по-горе, нека възпроизведем тази сума за с₈, С₉, С₁₀ и с₁₁:

с₈ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
с₉= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
с₁₀= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
с₁₁= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66

Можем да обобщим, за да получим сума за с_не:

с_не = н. (n+1), ако n е четно
2

с_не = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, ако n е нечетно
​2 2

точно като в магия на числата, можем да покажем още един интересен факт за триъгълните числа: сборът от последващи триъгълни числа винаги води до числа, които могат да бъдат класифицирани като перфектни квадрати, тоест числа, които имат корен квадрат. Да видим:

с₁ + С₂ = 1 + 3 = 4
​с₂ + С₃ = 3 + 6 = 9
с₃ + С₄ = 6 + 10 = 16
с₄ + С₅ = 10 + 15 = 25
с₅ + С₆ = 15 + 21 = 36
с₆ + С₇ = 21 + 28 = 49
с₇ + С₈ = 28 + 36 = 64
​с₈ + С₉ = 36 + 45 = 81
с₉ + С₁₀ = 45 + 55 = 100
с₁₀ + С₁₁ = 55 + 66 = 121

Получените резултати, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и 121, са идеални квадрати.

От Аманда Гонсалвес
Завършил математика

Искате ли да посочите този текст в училище или академична работа? Виж:

РИБЕЙРО, Аманда Гонсалвес. "Триъгълни числа"; Бразилско училище. Достъпен в: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Посетен на 27 юли 2021 г.