Едно уравнение е математическо изречение, което има равенство и поне едно неизвестно, т.е. когато имаме участието на a алгебричен израз и равенство. Изучаването на уравнения изисква предварителни знания, като например изучаването на числови изрази. Целта на едно уравнение е намерете неизвестната стойност което превръща равенството в идентичност, тоест истинско равенство.
Прочетете също:Операции с фракции - как да се изчисли?
Основни понятия за изследване на уравнения
Уравнението е математическо изречение, което има a неизвестен, поне и a равенство, и можем да го класираме по броя на неизвестните. Вижте няколко примера:
а) 5t - 9 = 16
Уравнението има неизвестно, представено с буквата T.
б) 5x + 6y = 1
Уравнението има две неизвестни, представени с буквите х и у.
в) т4 - 8z = x
Уравнението има три неизвестни, представени с буквите Добре,z и х.
Каквото и да е уравнението, ние трябва да вземем предвид вашето вселена,съставен от всички възможни стойности, които можем да присвоим на неизвестното, този набор е представен с буквата U.
Пример 1
Да разгледаме уравнението x + 1 = 0 и възможното му решение x = –1. Сега помислете, че множеството на вселената на уравнението са естествен.
Имайте предвид, че предполагаемото решение не принадлежи на множеството на вселената, тъй като неговите елементи са всички възможни стойности, които неизвестното може да приеме, така че x = –1 не е решението на уравнението.
Разбира се, колкото по-голям е броят на неизвестните, толкова по-трудно е да се определи вашето решение. НА решение или източник на уравнение е съвкупността от всички стойности, които, когато са присвоени на неизвестното, правят равенството вярно.
Пример 2
Помислете за уравнението с неизвестно 5x - 9 = 16, проверете дали x = 5 е решението или коренът на уравнението.
Така че е възможно да се каже това x = 5 е решението на уравнението, трябва да заместим тази стойност в израза, ако намерим истинско равенство, числото ще бъде тестваното решение.
5х – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Вижте, че намереното равенство е вярно, така че имаме идентичност и числото 5 е решение. Така че можем да кажем, че наборът от решения се дава от:
S = {5}
Пример 3
Помислете за уравнение t2 = 4 и проверете дали t = 2 или t = –2 са решения на уравнението.
По аналогия трябва да заместим стойността на t в уравнението, но имайте предвид, че имаме две стойности за неизвестното и следователно трябва да извършим проверката в две стъпки.
Етап 1 - За t = 2
T2= 4
22 = 4
4 = 4
Стъпка 2 - За t = –2
T2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Вижте за t = 2 и t = - 2 намираме идентичност, така че тези две стойности са решения на уравнението. По този начин можем да кажем, че наборът от решения е:
S = {2, –2}
Типове уравнения
Можем също да класифицираме уравнение по отношение на позицията, която заемат неизвестните. Вижте основните типове:
Полиномиални уравнения
В полиномиални уравнения се характеризират с наличието на полином, равен на нула. Вижте няколко примера:
The) 6T3+ 5T2–5t = 0
Числата6, 5 и –5 са коефициентите на уравнението.
Б) 9х – 9= 0
Числата 9 и – 9 са коефициентите на уравнението.
в) у2– у – 1 = 0
Числата 1, – 1 и – 1 са коефициентите на уравнението.
Уравнителни степени
Полиномиалните уравнения могат да бъдат класифицирани по степента им. Както и полиноми, степента на полиномно уравнение се дава от най-високата мощност, която има ненулев коефициент.
От предишните примери a, b и c имаме, че градусите на уравненията са:
а) 6T3 + 5т2 –5t = 0 → Полиномиално уравнение на трета степен
б) 9х - 9 = 0 → Полиномиално уравнение на първа степен
° С) у2 - y - 1 = 0 → Полиномиално уравнение на гимназия
Прочетете и вие: квадратно уравнениеu: как да се изчисли, типове, примери
рационални уравнения
Рационалните уравнения се характеризират с наличието на техните неизвестни в знаменателя на a фракция. Вижте няколко примера:
Прочетете и вие: Кои са рационалните числа?
ирационални уравнения
В ирационални уравнения се характеризират с това, че имат своите неизвестни в n-ти корен, тоест вътре в радикал, който има индекс n. Вижте няколко примера:
експоненциални уравнения
В експоненциални уравнения имат неизвестни, разположени в експонентата на а потентност. Вижте няколко примера:
логаритмично уравнение
В логаритмични уравнения се характеризират с наличието едно или повече неизвестни в някаква част от логаритъм. Ще видим, че когато прилагаме дефиницията на логаритъма, уравнението попада в някои от предишните случаи. Вижте няколко примера:
Вижте също: Уравнение от първа степен с неизвестно
Как да решим уравнение?
За да решим уравнение, трябва да изучим методи, използвани във всеки тип, тоест за всеки тип уравнение има различен метод за определяне на възможните корени. Всички тези методи обаче са произтичащи от принципа на еквивалентност, с него е възможно да се решат основните видове уравнения.
Принцип на еквивалентност
Втори принцип на еквивалентност, ние можем свободно да действаме от едната страна на равенството, стига да правим същото от другата страна на равенството. За да подобрим разбирането, ще назовем тези страни.
Следователно принципът на еквивалентност гласи, че е възможно оперирайте първия крайник свободно, докато същата операция се прави на втория член.
За да проверите принципа на еквивалентност, вземете предвид следното равенство:
5 = 5
Хайде да тръгваме добавям от двете страни числото 7 и отбележете, че равенството ще остане вярно:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Хайде да тръгваме изваждане 10 от двете страни на равенството, обърнете внимание отново, че равенството ще остане вярно:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
вижте, че можем умножете или дял и вдигнете до a потентност или дори извлечете a източник, докато това се прави на първия и втория член, равенството винаги ще важи.
За да решим уравнение, трябва да използваме този принцип заедно със знанията за споменатите операции. За да улесним развитието на уравненията, нека пропуснем операцията, извършена върху първия член, еквивалентно на това, че предаваме номера на другия член, като разменяме знака за обратния.
Идеята да се определи решението на уравнение е винаги изолирайте неизвестното, като използвате принципа на еквивалентност, Виж:
Пример 4
Използвайки принципа на еквивалентност, определете множеството от решения на уравнението 2x - 4 = 8, знаейки, че множеството на Вселената е дадено от: U = ℝ.
2x - 4 = 8
За да решим полиномиално уравнение от първа степен, трябва да оставим неизвестното в първия член изолирано. За това ще вземем числото –4 от първия член, като добавим 4 от двете страни, тъй като –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Обърнете внимание, че извършването на този процес е еквивалентно на просто предаване на числото 4 с обратния знак. И така, за да изолираме неизвестното x, нека предадем числото 2 на втория член, тъй като умножава x. (Не забравяйте: обратната операция на умножение е деление). Това би било същото като разделяне на двете страни на 2.
Следователно, наборът от решения се дава от:
S = {6}
Пример 5
Решете уравнение 2x + 5 = 128 знаейки, че множеството на Вселената е дадено от U = ℝ.
За да решим експоненциалното уравнение, нека първо използваме следното потенциране свойство:
Them + n =м · Ане
Ще използваме и факта, че 22 = 4 и 25 = 32.
2x + 5 = 128
2х · 25 = 128
2х · 32 = 128
Имайте предвид, че е възможно да се разделят двете страни на 32, т.е. да се предаде числото 32 на втория член чрез разделяне.
Така че трябва да:
2х = 4
2х = 22
Единствената стойност на x, която удовлетворява равенството, е числото 2, така че x = 2 и наборът от решения се дава от:
S = {2}
Решени упражнения
Въпрос 1 - Разгледайте множеството U = ℕ и определете решението на следното ирационално уравнение:
Резолюция
За да решим това уравнение, трябва да се занимаваме с премахването на корена на първия член. Имайте предвид, че за това е необходимо първият член да се издигне до същия индекс като корена, т.е. до куба. По принцип на еквивалентност трябва да издигнем и втория член на равенството.
Обърнете внимание, че сега трябва да решим полиномно уравнение от втора степен. Нека предадем числото 11 на втория член (извадим 11 от двете страни на равенството), за да изолираме неизвестното x.
х2 = 27 – 11
х2 = 16
Сега, за да определите стойността на x, вижте, че има две стойности, които отговарят на равенството, x ’= 4 или x’ ’= –4, веднъж:
42 = 16
и
(–4)2 = 16
Забележете обаче в изявлението на въпроса, че дадения набор от вселени е набор от естествени числа, а числото –4 не му принадлежи, поради което множеството от решения се дава от:
S = {4}
въпрос 2 - Помислете за полиномиалното уравнение x2 + 1 = 0 знаейки, че множеството на Вселената е дадено от U = ℝ.
Резолюция
За принципа на еквивалентност извадете 1 от двата члена.
х2 + 1 – 1= 0 – 1
х2 = – 1
Обърнете внимание, че равенството няма решение, тъй като множеството на вселената е реалните числа, т.е. стойностите, които неизвестното може да приеме, са реални и няма реално число, което, когато е на квадрат, е отрицателен.
12 = 1
и
(–1)2 = 1
Следователно уравнението няма решение в набора от реални числа и по този начин можем да кажем, че наборът от решения е празен.
S = {}
от Робсън Луиз
Учител по математика
