Всички съществуващи числа са създадени според човешките нужди по време на създаването, какъвто е случаят с естествените числа, които са създадени за преброяване и контрол на „запасите“ и ирационални числа, които са създадени за решаване на проблеми във връзка с корени. Именно проблемите, свързани с корените, започнаха знанията за комплексни числа.
Квадратното уравнение x2 + 4x + 5 = 0 няма реални корени. Това означава, че в рамките на реалните числа е невъзможно да се намерят стойности за x, които равняват първия член на това уравнение на втория. Наблюдаваме този феномен от началото на формулата на Баскара:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
След като се намери отрицателна стойност за Δ, става невъзможно да се продължи с формулата на Bhaskara, тъй като тя изисква да се изчисли √Δ (корен на делтата). Сега знаем, че √– 4 не може да се изчисли, защото няма реално число, което, умножено по себе си, да доведе до - 4.
За да отговорят на тези нужди са създадени сложни номера. От създаването си √– 4 може да бъде разработен, както следва:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) се разбира като нов тип число. Наборът от всички тези числа е известен като набор от комплексни числа и всеки представител на този нов набор се определя по следния начин: Нека A е комплексно число, тогава,
A = The + Б.i, къде Theи Б. са реални числа и i = √ (- 1)
В това определение, The Известно е като реална част от A и Б. Известно е като въображаема част на А.
Свойства на комплексни числа
Реалните числа представляват в своята цялост и геометрично линия. Комплексните числа от своя страна представляват цяла равнина. Декартовата равнина, използвана за представяне на комплексните числа, е известна като равнината на Арганд-Гаус.
Всяко комплексно число може да бъде представено на равнината на Арганд-Гаус като точка на координати (a, b). Разстоянието от точката, представляваща комплексно число до точката (0,0), се нарича модул на комплексното число., което е дефинирано:
Нека A = a + bi е комплексно число, неговият модул е | A | = а2 + b2
Комплексните числа имат и обратен елемент, наречен конюгат. Определя се като:
Нека A = a + bi е комплексно число,
Ā = a - bi е конюгатът на това число.
Собственост 1: Произведението на комплексно число и неговото конюгат е равно на сумата от квадратите на реалната част и имагинерната част на комплексното число. Математически:
AĀ = a2 + b2
Пример: Какъв е произведението на A = 2 + 5i от неговия конюгат?
Просто направете изчислението: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Ако решим да напишем конюгата на A и след това изпълним умножението AĀ, ще имаме:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Тоест, използвайки предложеното свойство, е възможно да се избегнат дълги изчисления, както и грешки по време на тези изчисления.
Свойство 2: Ако комплексно число A е равно на неговото спрягано, тогава A е реално число.
Нека A = a + bi. Ако A = Ā, тогава:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Следователно b = 0
Следователно е задължително всяко комплексно число, равно на конюгата му, да е и реално число.
Свойство 3: Конюгатът на сумата от две комплексни числа е равен на сумата от конюгатите на тези числа., това е:
_____ _ _
A + B = A + B
Пример: Какво е конюгатът на сумата от 7 + 9i и 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Можете да добавите първо и след това да изчислите конюгата на резултата или да направите конюгатите първо и след това да добавите резултатите по-късно.
Свойство 4: Конюгатът на продукта между две комплексни числа е равен на произведението на техните конюгати, т.е.
__ _ _
AB = A · B
Пример: Какъв е продуктът на конюгатите на A = 7i + 10 и B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
В зависимост от необходимостта от упражнението е възможно първо да се умножи и след това да се изчисли конюгата или да се покажат конюгатите, преди да се извърши умножението.
Имот 5: Произведението на комплексно число A и неговото конюгат е равно на квадрата на модула на A, т.е.
AĀ = | A |2
Пример: A = 2 + 6i, след това AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Обърнете внимание, че не е необходимо да се намира конюгатът и да се извършва умножение чрез разпределителното свойство на умножението над събирането (известно като малко душове).
Собственост 6: Модулът на комплексно число е равен на модула на неговото конюгат. С други думи:
| A | = | Ā |
Пример: Намерете модула на конюгата на комплексното число A = 3 + 4i.
Имайте предвид, че не е необходимо да се намира конюгат, тъй като модулите са еднакви.
| A | = √ (а2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ако | Ā | се изчисли, единствената промяна ще бъде a Б. отрицателно на квадрат, което има положителен резултат. По този начин резултатът все пак ще бъде коренът на 25.
Собственост 7: Ако A и B са комплексни числа, тогава модулното произведение на A и B е равно на модула на произведението на A и B., т.е.:
| AB | = | A || B |
Пример: Нека A = 6 + 8i и B = 4 + 3i, колко е | AB |?
Имайте предвид, че не е необходимо да се умножават комплексни числа, преди да се изчисли модулът. Възможно е да се изчисли модулът на всяко комплексно число поотделно и след това просто да се умножат резултатите.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
