Факторизация на алгебричен израз. Алгебрични методи за факторизиране

НА факторизация на алгебричен израз се състои от писане на алгебричен израз в форма на продукта. В практически случаи, тоест при решаването на някои свързани с това проблеми алгебрични изрази, факторизацията е изключително полезна, защото в повечето ситуации опростява обработения израз.

За да извършим факторизиране на алгебрични изрази, ще използваме много важен резултат в математиката, наречен основна теорема за аритметика, който гласи, че всяко цяло число, по-голямо от 1, може да бъде записано като произведение на прости числа, Виж:

121 = 11 · 11

60 = 5 · 4 · 3

Току-що разделихме числата 121 и 60.

Прочетете и вие: Разлагане на число на прости фактори

Методи за факториране на алгебрични изрази

Сега ще видим основните факторизационни методи, най-използваните ще направим кратка геометрична обосновка. Виж:

• Факторинг на доказателства

Помислете за правоъгълника:

Имайте предвид, че правоъгълник син плюс площта на зеления правоъгълник води до по-големия правоъгълник. Нека разгледаме всяка от тези области:

НА_СИН = b · x

НА_ЗЕЛЕНО = b · y

НА_{ПО-ГОЛЯМО} = b · (x + y)

И така, трябва да:

НА_{ПО-ГОЛЯМО} = A_СИН + А_ЗЕЛЕНО

b (x + y) = bx + от

• Примери

The) За да разделим израза: 12x + 24y.

Имайте предвид, че 12 е факторът в доказателствата, тъй като се появява и в двата колета, така че за да се определят числата, които влизат в скобите, е достатъчно дял всяка колетна пратка по доказателствения фактор.

12x: 12 = х

24г: 12 = 2г

12x + 24y = 12 · (х + 2г)

Б) Да факторизираме израз 21ab² - 70-та²Б.

По същия начин първоначално се определя факторът в доказателствата, т.е. коефициентът, който се повтаря в колетите. Вижте, че от числовата част имаме 7 като общ фактор, тъй като той е този, който разделя двете числа. Сега, що се отнася до буквалната част, вижте, че се повтаря само факторът абследователно факторът в доказателствата е: 7ab.

21ab² - 70-та²b = 7ab (3b - 10^The)

Прочетете и вие: Полиномиално деление: как да го направя?

• Факторинг чрез групиране

Факторизацията чрез групиране е произтичащи от факторинг чрез доказателства, единствената разлика е, че вместо да имаме мономий като общ фактор или фактор в доказателствата, ще имаме многочлен, вижте примера:

Помислете за израза (a + b) · xy + (a + b) · wz²

Обърнете внимание, че общият фактор е бином (a + b),следователно факторизираната форма на предишния израз е:

(a + b) · (Xy + wz²)

• разлика между два квадрата

Помислете за две числа a и b, когато имаме a разлика от квадрата на тези числа, т.е.² - Б², за да можем да ги запишем като произведение на сумата за разлика, т.е.:

The² - Б² = (a + b) · (a - b)

• Примери

The) За да разделим израза x² - у².

Можем да използваме разликата между два квадрата, така че:

х² - у² = (x + y) · (x - y)

Б) Да се ​​вземе предвид 2020² – 2.019².

Можем да използваме разликата между два квадрата, така че:

2.020² – 2.019² = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.020² – 2.019² = 4.039 · 1

2.020² – 2.019² = 4.039

• Триномиал на перфектния квадрат

Вземете следващия квадрат отстрани (a + b) и отбележете областите на квадратчетата и правоъгълниците, образувани вътре в него.

Вижте района на квадрат по-голямо се дава от (a + b)², но, от друга страна, площта на най-големия квадрат може да бъде получена чрез добавяне на квадрати и правоъгълници вътре в него, по следния начин:

(a + b)² =²+ ab + ab + b²

(a + b)² =²+ 2б + b²

(a + b)² =² + 2ab + b²

По същия начин трябва да:

(а - б)² =² - 2ab + b²

• Пример

Помислете за израза x² + 12x + 36.

За да факторизирате израз от този тип, просто идентифицирайте коефициента на променлива x и независимия коефициент и сравнете с дадената формула, вижте:

х² + 12x + 36

The² + 2ab + b²

Правейки сравненията, вижте, че x = a, 2b = 12 и b² = 36; от равенствата имаме, че b = 6, така че факторизираният израз е:

х² + 12x + 36 = (x + 6)²

• Триномиална гимназия

Да разгледаме триома на брадвата² + bx + c. Факторната му форма може да бъде намерена с помощта вашите корени, тоест стойностите на x, които нулират този израз. За да определите стойностите, които правят този израз нулев, просто решете оста на уравнението² + bx + c = 0, използвайки какъвто и да е удобен метод. Тук подчертаваме най-известния метод: Метод на Баскара.

Факторираната форма на брадвата тричлен² + bx + c е:

брадва² + bx + c = a · (x - x₁) · (X - x₂)

• Пример

Помислете за израза x² + x - 20.

Първата стъпка е да се определят корените на x уравнението.² + x - 20 = 0.

Така че факторизираната форма на израза x² + x - 20 е:

(x - 4) · (x + 5)

• Куб на разликата между две числа

Кубът на разликата между две числа a и b се дава от:

(а - б)³ = (а - б) · (а - б)²
(а - б)³ = (a - b) · (a² - 2ab + b²)

• Куб на сумата от две числа

По същия начин имаме, че (a + b)³ = (a + b) · (a + b)² , скоро:

(a + b)³ = (a + b) · (a² + 2ab + b²)

Факторизацията е инструмент, който улеснява разрешаването на алгебрични изрази.

решени упражнения

Въпрос 1 - (Cefet-MG) Където числото n = 684² – 683², сумата от цифрите на n е:

а) 14

б) 15

в) 16

г) 17

д) 18

Резолюция

Алтернатива d. За да определим сумата от цифрите на n, първо разчитаме израза, тъй като изчисляването на квадратите и след това изваждането е ненужна работа. Факторирайки израза, използвайки разликата между два квадрата, имаме:

n = 684² – 683²

n = (684 + 683) · (684 - 683)

n = 1,367 · 1

n = 1,367

Следователно сумата от цифрите на n се дава от 1 + 3 + 6 + 7 = 17

Въпрос 2 - (Modified Insper-SP) Определете стойността на израза:

Резолюция

За да улесним нотирането, нека назовем a = 2009 и b = 2. не забравяйте, че 2² = 4, така че трябва да:

Забележете, че в числителя на фракцията имаме разликата между два квадрата, така че можем да запишем² - Б² = (a + b) (a - b). Скоро:

a - b = 2009 - 2 = 2007.

от Робсън Луиз
Учител по математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm