НА комбинаторен анализ е област на обучение по математика, свързана с правилата за броене. В началото на 18 век изучаването на игри, включващи зарове и карти, доведе до голямо развитие на теориите за броене.
Работата на комбинаториката дава възможност за реализиране на все по-точни преброявания.Основният принцип на броенето (PFC), факториалът и видовете групиране са примери за понятия, изучавани в комбинаторен анализ, които освен да предоставят по-голям прецизността помага неразвитието на други области на математиката, като The вероятност и О Бином на Нютон.
Прочетете и вие: подреждане или ° Скомбинация?
За какво е комбинаторният анализ?
Комбинаторният анализ е свързан с процеса на броене, тоест изучаването на тази област на математиката ни позволява да разработим инструменти, които ни помагат да изпълняваме брои по-ефективно. Нека разгледаме типичен проблем с броенето, вижте:
Пример 1
Да разгледаме три града A, B и C, свързани с магистрали R1, R2, R3, R4 и R5. Определете по колко начини можем да стигнем от град А до град С през град Б.
Обърнете внимание, че трябва да напуснем град A и да отидем до град B и едва тогава можем да пътуваме до град C, така че нека анализираме всички възможности за провеждане на събитието след магистралите.
1-ви начин: R1 → R3
2-ри начин: R1 → R4
3-ти начин: R1 → R5
Четвърти начин: R2 → R3
5-ти начин: R2 → R4
6-ти начин: R2 → R5
Така че имаме шест различни начина да стигнем от град А до град С през град Б. Имайте предвид обаче, че предложеният проблем е относително прост и че извършеният анализ е малко трудоемък. И така, отсега нататък ще изучаваме по-сложни инструменти, които правят възможно решаването на проблеми с много по-малко работа.
Основен принцип на броене (PFC)
Помислете за събитие E, което може да се извърши в n независими и последователни стъпки. Сега, помислете, че броят на възможностите за извършване на първата стъпка е равен на P1, също така си представете, че броят на възможностите за провеждане на втория етап е P.2, и така нататък, докато стигнем до последния етап, който има Pне възможности за изпълнение.
Основният принцип на броене (PFC) гласи, че общи възможности на провеждане на събитието Е се дава от:
P1 · Р2 ·... · Pне
По този начин сумата се дава от произведението на възможностите на всяка от стъпките, които съставляват събитие E. Имайте предвид, че за да се определят общите възможности за провеждане на събитие Е, е необходимо да се знаят общите възможности за всеки от етапите.
Пример 2
Нека повторим пример 1, използвайки основния принцип на броене.
Помислете за изображението в пример 1.
Имайте предвид, че събитието може да се проведе на два етапа, първият преминава от град А до град Б, а вторият преминава от град Б към град В. За да извършим първата стъпка, имаме две възможности (пътища R1 и R2), а за да извършим втория етап, имаме три възможности (R3, R4 и R5).
1-ва стъпка → две възможности
2-ри етап → три възможности
Чрез основния принцип на броенето трябва умножете общите възможности на всяка стъпка.
2 · 3
6
Следователно, за да преминем от град A до град C през град B, имаме общо шест възможности.
Пример 3
По колко начина могат да бъдат разпределени трите олимпийски медала в състезание от планинско колоездене с пет състезатели?
Организирането на раздаването на медали е събитие, което може да се проведе на три етапа. Първата стъпка е да се анализират общите възможности на това кой ще получи златния медал, т.е. пет възможности.
Втората стъпка е да се анализират възможностите кой ще получи сребърния медал, т.е. четири, тъй като първото място не влиза в този избор. Третата стъпка е да се анализират общите възможности на това кой ще получи бронзовия медал, т.е. три, тъй като първите две вече са избрани.
1-ва стъпка → пет възможности
2-ри етап → четири възможности
3-ти етап → три възможности
И така, съгласно основния принцип на броене имаме:
5 · 4 · 3
60 възможности
Вижте също: Принцип на броене на добавки - обединение на един или повече набори
Факториал
О факториал е начин за разлагат естествено число. За да изчислите факториал на число, просто го умножете по всички негови предшественици до числото 1. Факториалът е представен с удивителен знак - “!”.
Вижте няколко примера за изчисляване на факториал на някои числа.
The) 2! (чете: два факториала)
За изчислението просто умножете числото, придружаващо факториала, от всичките му предшественици до числото 1, по следния начин:
2! = 2 ·1 = 2
Б) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
° С) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
д) 1! = 1
Формално можем да напишем факториала, както следва:
Да разгледаме естествено число n> 2. Факториалът на n е обозначен с n! и се дава чрез умножаване на n по всички негови положителни цели числа предшественици.
не! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·... · 1
Обърнете внимание на следните фактори:
4! и 5!
Сега извършете разработката и на двете:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Имайте предвид, че при разработването на 5! се появява развитието на 4!. Така че можем да напишем 5-те! поради това:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Пример 4
Изчислете факториал секвой:
Вижте, че 15-те! е разработен до 13!. Също така имайте предвид, че в числителя на фракцията елементите се умножават, така че можем да „отрежем“ 13!, което води до само 15 · 14.
Наблюдение:0! = 1
Групиране на типове
Някои проблеми с броенето са по-сложни и се решават по-лесно с нови инструменти. Тези инструменти се наричат групиране, защото групират елементите по различни начини, което улеснява процеса на броене. Тези групи са: просто подреждане, пермутация и проста комбинация.
проста аранжировка
Помислете за набор с n различни елемента. нека го наречем подреждане от n елементите, взети от p до p, всяка последователност, подредена от p, и отделните елементи, избрани измежду елементите.
По този начин броят на подмножествата, образувани от p елементи, ще бъде подреждането на n елемента, взети от p до p. Формулата, която ни позволява да изчислим броя на споразуменията, се дава от:
Пример 5
Изчислете стойността на A4,2 + А5,2.
За да изчислим стойността на израза, нека определим всеки от масивите и след това добавим тези стойности заедно. За да определим стойността на всеки масив, трябва да заместим стойностите във формулата.
Обърнете внимание, че n = 4 и p = 2, и двете са заместени във формулата. Сега трябва да изчислим стойността на масива от пет елемента, взети два по два.
И така, трябва да:
НА4,2 + А5,2
12 + 20
32
Пример 6
Колко различни четирицифрени естествени числа могат да се образуват с помощта на числата 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?
В този проблем можем да използваме простата подредба, тъй като 2435 ≠ 4235. Ще видим, че в някои случаи редът на елементите не ги разграничава и по този начин не можем да използваме подреждането.
Тъй като искаме да определим общия брой числа, които могат да се образуват, обърнете внимание, че общият брой на елементите е равен на осем, и ние искаме да ги групираме четири по четири, така че:
проста пермутация
Помислете за набор с n елемента. нека го наречем проста пермутация от n елемента всяко подреждане на n елемента, взети n до n. Така че трябва да:
За да няма объркване между понятията, нека обозначим простата пермутация на n елемента с Pне. Така че трябва да:
Pне = n!
Пример 7
Изчислете P7 и Р3.
За да изчислим тези пермутации, трябва да заместим стойностите във формулата. Виж:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Пример 8
Определете колко анаграми може да има в думата Бразилия.
Под анаграма разбираме всички възможни транспозиции на буквите на думата, например „Lisarb“ е a анаграма на думата Бразилия. За да определим броя на анаграмите, трябва да изчислим пермутацията на буквите в думата, така че трябва да:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Следователно думата Бразилия има 720 анаграма.
Също така достъп: Пермутация с повтарящи се елементи
проста комбинация
Помислете за набор A с n различни елемента. нека го наречем комбинация от n елемента, взети p до p всяко подмножество на A, образувано от p елементи. Формулата за изчисляване на комбинацията се дава от:
Пример 9
Изчислете комбинацията от 10 елемента, взети от четири на четири.
Пример 10
Колко четириъгълници различно можем ли да образуваме с върхове в точки A, B, C, D, E и F?
Имайте предвид, че четириъгълникът ABCD е същият като четириъгълника CDBA в този контекст, така че трябва да използваме комбинацията, а не масиви. Имаме общо шест точки и искаме да ги комбинираме четири по четири, ето така:
Следователно можем да образуваме 15 различни четириъгълника.
Комбинаторен анализ и вероятност
Изследването на вероятността е тясно свързана с изучаването на комбинаторния анализ.. При някои вероятностни проблеми е необходимо да се определи пробното пространство, което се състои от набор, образуван от всички възможни резултати от дадено събитие.
В някои случаи пробното пространство E се записва много директно, както при обръщане на справедлива монета, където възможните резултати са глави или опашки и се обозначават, както следва:
E = {глави, опашки}
Сега си представете следната ситуация: матрицата се хвърля три последователни пъти и ние се интересуваме от определянето на пробното пространство за този експеримент. Имайте предвид, че записването на всички възможности вече не е проста задача, трябва да използваме основния принцип на броене (PFC). Събитието може да се изпълни на три етапа, като във всеки от тях имаме шест възможности, тъй като матрицата има шест лица, като тази:
1-ви етап → шест възможности
2-ри етап → шест възможности
3-ти етап → шест възможности
От PFC имаме, че общият брой възможности е:
6 · 6 · 6
216
Така че можем да кажем, че примерното пространство на това събитие е 216.
Вижте, че за изследване на вероятността е така изискват се основни познания по комбинаторен анализ., тъй като без да се определи извадковото пространство на експеримент, е невъзможно да се реши огромното мнозинство от упражнения за вероятност. За повече информация за тази област на математиката прочетете текста:Вероятност.
решени упражнения
Въпрос 1 - Определете броя на анаграмите на думата замък. След това определете броя на анаграмите, започващи с буквата c.
Резолюция
За да определим броя на анаграмите, трябва да изчислим пермутацията на броя на буквите, по следния начин:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Думата има 5040 анаграма. Сега, за да определим броя на анаграмите, които започват с буквата c, трябва да фиксираме буквата и да изчислим анаграмата на останалите, вижте:
° С__ __ __ __ __ __
Когато поправяме буквата c, имайте предвид, че остават шест полета за изчисляване на пермутацията, по следния начин:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Така че имаме 720 анаграма на думата замък, които започват с буквата c.
въпрос 2 - В класната стая има петима мъже и седем жени. Колко групи от трима мъже и четири жени могат да бъдат сформирани?
Резолюция
Първо, вижте, че редът, в който избираме хората, няма значение, например групата, сформирана от João, Маркос и Хосе е същата група, образувана от Маркос, Жоао и Хосе, следователно трябва да използваме комбинацията за изчисление.
Нека изчислим отделно броя на групите, които могат да се формират от мъже и жени, и в Тогава нека умножим тези резултати, защото всяка група мъже може да се смесва с всяка група мъже. Жени.
Мъже
Общо → 5
Количество в група → 3
Жени
Общо → 7
Количество в група → 4
Следователно общият брой групи, които могат да се формират от трима мъже и четири жени, е:
° С5,3 · ° С7,4
10 · 35
350
от Робсън Луиз
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
