За разлика от образуваните от него геометрични фигури, Резултат няма определение. Това означава, че в геометрията точка е неопределен обект, използван при дефинирането на други обекти. Линиите например са набори от точки. Въпреки че изглеждат добре дефинирани, линиите също нямат дефиниция, тъй като всеки набор, съдържащ две или повече точки, се счита за прав.
От друга страна, в Аналитичната геометрия точката се приема като местоположение. Всяко местоположение може да бъде представено с точка и освен това „адресът“ на тази точка е даден чрез координати.
Въпреки това, в аналитичната геометрия точките могат да посочват само местоположения. Други обекти са необходими, за да посочат траектория, посока, посока и интензивност. В случая на тези три последни обекта, избран да ги представи в декартовата равнина, е вектор.
→ Какво е вектор?
Векториследователно са обекти, които показват посока, смисъл и интензивност. Обикновено те са представени със стрелки, които започват от началото и се използват координатите на последната им точка.
В изображението по-горе векторите са представени по този начин, т.е. стрелки, чиито координати съответстват на крайната им точка. Вектор u има координати (2,2), а вектор v има координати (4,2). Също така стрелката се използва за посочване на посоката и посоката, а размерът й показва интензивността.
→ Умножение на вектор с число
Като се има предвид вектора v = (a, b), произведението на реалното число k от v се дава от израза:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
С други думи, за да умножите реално число по вектор, трябва да умножите реалното число по всяка от неговите координати.
Геометрично умножаването на вектор по реално число увеличава линейно размера на вектора:
Имайте предвид, че в примера по-горе вектор u има координати (2.2), а вектор u · k има координати (4.4). Решавайки уравнението (4.4) = k (2.2), можем да заключим, че k = 2.
→ Добавяне на вектори
Като се имат предвид два вектора u = (a, b) и v = (c, d), сумата между тях ще бъде получена чрез израза:
u + v = (a + c, b + d)
С други думи, просто съберете съответните координати на всеки вектор. Тази операция може да се разшири до сума от 3 или повече вектори с 3 или повече измерения.
Геометрично, като се започне от крайната точка на вектор u, вектор v 'се чертае успоредно на вектор v. Започвайки от вектор v, вектор u 'е нарисуван успоредно на вектор u. Тези четири вектора образуват успоредник. Векторът u + v е следният диагонал на този успоредник:
За да извадите вектори, помислете за изваждането като сбор от един вектор и противоположен на друг. Например, за да извадите вектор v от вектор u, напишете: u - v = u + (-v). -V вектор е v вектор, но с обърнати координатни знаци.
Вглеждайки се внимателно, операциите "умножаване на вектор по число" и "добавяне на вектори" използвайте операции за умножение и събиране на реални числа, но на всеки компонент на вектор. Следователно за векторите са валидни всички свойства на събиране и умножение на реални числа, а именно:
Като се имат предвид векторите u, v и w и реалните числа k и l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) има вектор 0 = (0.0) такъв, че v + 0 = v
iv) Има вектор -v такъв, че v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Стандарт на вектор
Нормата на вектор е еквивалент на величината на реалното число, т.е. разстоянието между вектор и точката (0,0) или, в зависимост от референтната рамка, дължината на вектора.
Нормата на вектора v = (a, b) се обозначава с || v || и може да се изчисли с помощта на израза:
|| v || = √ (а2 + b2)
→ Вътрешен продукт
Вътрешният продукт е сравним с продукта между векторите. Обърнете внимание, че посоченият по-горе продукт е продуктът между вектор и реално число. Сега въпросният „продукт“ е между два вектора. Не трябва обаче да се казва „продукт между два вектора“, а по-скоро „вътрешен продукт между два вектора“. Вътрешното произведение между векторите v = (a, b) и u = (c, d) се обозначава с
Също така е обичайно да се използват следните обозначения:
Имайте предвид, че използвайки нормата на вектора v = (a, b), можем да свържем нормата и точковото произведение.
|| v || = √ (а2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm