НА обратна функция, както подсказва името, е функция f (x)-1, което прави точно обратното на функцията f (x). За да може функция да поддържа обратна, тя трябва да бъде биектор, тоест инжектор и сържектор едновременно. Законът за образуване на обратна функция прави обратното на това, което прави функцията f (x).
Например, ако функцията приема стойност от домейн и добавя 2, обратната функция, вместо да добавя, изважда 2. намери закон за обратна функция не винаги е лесна задача, тъй като е необходимо да се обърнат неизвестните x и y, както и да се изолира y в новото уравнение.
Прочетете също:Функция - всичко, което трябва да знаете, за да овладеете предмета
Кога функцията поддържа обратна?
Ролята е обратим, тоест има обратна функция, ако и само ако е биектор. Важно е да запомните какво a биекторна функция, което е функция инжектор, тоест всеки елемент от изображението има един кореспондент на домейн. Това означава, че различните елементи в набор A трябва да бъдат свързани с различни елементи в множеството B, тоест не може да има два или повече елемента от множество A, които имат същото, съответстващо на комплект Б.
Ролята е surjective ако изображението е равно на контрадомейна, тоест няма елемент в набор B, който да няма елемент в набор A, свързан с него.
Нека функцията f: A → B, където A е домейн, а B е контрадомен, обратната функция на f ще бъде функцията, описана от f-1 : B → A, тоест домейнът и контрадомейнът са обърнати.
Пример:
Функцията f: A → B е биективна, тъй като е инжекционна (в крайна сметка отделни елементи в A са свързани с отделни елементи в B) и също така е сюръективен, тъй като в набор B не е останал елемент, т.е. контрадомейнът е същият като комплект Изображение.
Следователно тази функция е обратима и нейната обратна е:
Как се определя законът за обратната функция?
За да намерим закона за обратната функция, имаме нужда обърнете неизвестното, т.е. заместване на x с y и y с x и след това изолиране на неизвестното y. За това е важно функцията да е обратима, т.е. биектор.
→ Пример 1
Намерете закона за образуване на обратната функция на f (x) = x + 5.
Резолюция:
Знаем, че f (x) = y, така че y = x + 5. Извършвайки инверсията на x и y, ще открием следното уравнение:
x = y + 5
Сега, нека изолираме y:
- 5 + x = y
y = x - 5
Ясно е, че ако f (x) добави 5 към стойността на x, тогава неговата обратна f (x) - 1 ще направи обратното, тоест х минус 5.
→ Пример 2
Като се има предвид функцията, чийто закон за образуване е f (x) = 2x - 3, какъв ще бъде законът за образуване на нейната обратна?
→ Пример 3
Изчислете закона за образуване на обратната на функцията y = 2х.
Резолюция:
y = 2х
Промяна на x за y:
x = 2у
прилагане логаритъм от двете страни:
дневник2x = дневник22у
дневник2x = ylog22
дневник2x = y · 1
дневник2x = y
y = log2х
Прочетете също: Различия между функция и уравнение
Графика с обратна функция
Графиката на обратната функция f -1 той винаги ще бъде симетричен на графиката на функцията f спрямо линията y = x, което позволява да се анализира поведението на тези функции, въпреки че не можем да опишем обратния закон за образуване на функции в някои случаи, поради неговите сложност.
Прочетете също: Как да графирам функция?
решени упражнения
1) Ако f-1 е обратната функция на f, която преминава от R към R, чийто закон за образуване f (x) = 2x - 10, числовата стойност на f -1(2) é:
до 1
б) 3
в) 6
г) -4
д) -6
Резолюция:
→ 1-ва стъпка: намерете обратното на f.
→ 2-ра стъпка: заменете 2 на мястото на x във f -1(х).
Алтернатива В.
2) Нека f: A → B е функция, чийто закон за образуване е f (x) = x² + 1, където A {-2, -1, 0, 1, 2} и B = {1,2,5}, правилно е да се каже, че:
а) функцията е обратима, тъй като е биектор.
б) функцията не е обратима, тъй като не се инжектира.
в) функцията не е обратима, тъй като не е сюръективна
г) функцията не е обратима, тъй като не е нито сюръективна, нито инжекционна.
д) функцията не е обратима, тъй като е биектор.
Резолюция:
За да бъде функцията обратима, тя трябва да бъде биективна, т.е. сюръективна и инжекционна. Първо нека анализираме дали е сюръективно.
За да бъде функцията сюръективна, всички елементи на B трябва да имат аналог в A. За да знаем това, нека изчислим всяка негова числена стойност.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
Обърнете внимание, че всички елементи на B {1,2,5} имат съответстващи в A, което прави функцията surjective.
За да се инжектира тази функция, елементите, различни от A, трябва да имат различни изображения в B, което не се случва. Обърнете внимание, че f (-2) = f (2), както и че f (-1) = f (1), което прави функцията не инжектирайте. Тъй като не е инжектор, той също не е обратим; Следователно, алтернатива b.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm