Комплектът от прости числа е обект на изследване в математика от Древна Гърция. В своето велико произведение „Елементите“ Евклид вече обсъжда темата, като успява да докаже, че това комплект тя е безкрайна. Както знаем, простите числа са онези, които имат числото 1 като делител и самите, следователно, намирането на много големи прости числа не е лесна задача и ситото на Ератостен го прави лесно. среща.
Как да разберете кога числото е просто?
Знаем, че просто число е aкойто има като разделител числото 1 и себе си, така че число, което в списъка си на делители има числа, различни от 1 и само по себе си, няма да е просто, вижте:
Изброявайки 11 и 30 разделители, имаме:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Имайте предвид, че числото 11 има само число 1 и себе си като делители, така че число 11 е просто число. Сега, вижте делителите на числото 30, то освен числото 1 и себе си има числа 2, 3, 5, 6 и 10 с делители. Следователно, числото 30 не е просто.
→ Пример: Избройте числата по-малко от 15.
За това ще изброим делителите на всички числа между 2 и 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
По този начин, прости числа по-малки от 15 са:
2, 3, 5, 7, 11 и 13
Нека си признаем, тази задача не би била много приятна, например, ако трябваше да запишем всички прости числа между 2 и 100. За да го избегнем, ще се научим да използваме в следващата тема ситото на Ератостен.
Не спирайте сега... Има още след рекламата;)
Решето на Ератостен
Ситото на Ератостен е a инструмент, който има за цел да улесни определянето на прости числа. Ситото се състои от четири стъпки и е необходимо, за да се разберат, да се има предвид критерии за делимост. Преди да започнем стъпка по стъпка, трябва да създадем таблица от числото 2 до желаното число, тъй като числото 1 не е просто. Тогава:
→ Етап 1: От критерия за делимост на 2 имаме, че четните числа се делят на него, т.е. номер 2 ще се появи в списъка на делителите, така че тези числа няма да са прости и трябва да ги изключим от маса. Те:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Стъпка 2: От критерия за делимост на 3 знаем, че числото се дели на 3, ако сума от неговите цифри също е. По този начин трябва да изключим тези числа от таблицата, тъй като те не са прости, защото в списъка на делителите има число, различно от 1 и самото себе си. И така, трябва да изключим числата:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Стъпка 3: От критерия за делимост на 5 знаем, че всички числа, завършващи на 0 или 5, се делят на 5, така че трябва да ги изключим от таблицата.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Стъпка 4: По същия начин трябва да изключим от таблицата числа, кратни на 7.
14, 21, 28, …, 546, …
- Познавайки ситото на Ератостен, нека определим числата между 2 и 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ не са братовчеди
→ прости числа
Простите числа между 2 и 100 са:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Прочетете също: Изчисляване на MMC и MDC: как да го направя?
Разлагане на главен фактор
НА разлагане на първичен фактор е официално известен като основна теорема на аритметиката. Тази теорема гласи, че всеки цяло число различни от 0 и по-големи от 1 могат да бъдат представени от произведението на прости числа. За да определим факторизираната форма на цяло число, трябва да извършим последователни деления, докато достигнем резултата, равен на 1. Вижте примера:
→ Определете множителната форма на числата 8, 20 и 350.
За да разделим числото 8, трябва да го разделим на първото възможно просто число, в този случай на 2. След това извършваме друго деление също по възможното просто число, този процес се повтаря, докато стигнем до числото 1 като отговор на делението. Виж:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Следователно множителната форма на числото 8 е 2 · 2 · 2 = 23. За да улесним този процес, ще приемем следния метод:
Следователно числото 8 може да се запише като: 23.
→ За да разделим числото 20, ще използваме същия метод, тоест: разделяме го на прости числа.
Така че числото 20, във факторната му форма, е: 2 · 2 · 5 или 22 · 5.
→ По същия начин ще направим с числото 350.
Следователно числото 350, във факторната му форма, е: 2 · 5 · 5 · 7 или 2 · 52 · 7.
Вижте също: Научна нотация: за какво е?
Решени упражнения
Въпрос 1 - Опростете израза:
Решение
Първо, нека разделим израза, за да го улесним.
По този начин 1024 = 210и следователно можем да заменим едното с другото в израза на упражнението. Поради това:
от Робсън Луиз
Учител по математика
