Матрица: какво е това, видове, операции, примери

НА централно управление често се използва за организиране на таблични данни за улесняване на решаването на проблеми. Информацията за матрицата, независимо дали е цифрова или не, е подредена добре в редове и колони.

Наборът от матрици, оборудвани с операциите на допълнение, изваждане и умножение и характеристиките, като неутрален и обратен елемент, образуват математическа структура, която дава възможност за прилагането му в различни области от тази голяма област от знания.

Вижте също: Връзка между матрични и линейни системи

Представяне на матрицата

Преди започване на проучванията върху матрици е необходимо да се установят някои обозначения по отношение на техните представи. В матриците винаги са представени с главни букви. (A, B, C…), които са придружени от индекси, в които първото число показва броя на редовете, а второто - броя на колоните.

НА брой редове (хоризонтални редове) и колони (вертикални редове) на матрица определя нейното поръчка. Матрицата A има ред m по n. Информацията, съдържаща се в масив, се извиква

instagram story viewer

елементи и са организирани в скоби, квадратни скоби или две вертикални ленти, вижте примерите:

Матрицата A има два реда и три колони, така че нейният ред е два по три → A_2x3.

Матрицата B има един ред и четири колони, така че редът й е един на четири, така се нарича линейна матрица → Б_1x4.

Матрицата C има три реда и една колона и така се нарича матрица на колона и редът му е три по едно → C_3x1.

Можем общо да представим елементите на масив, тоест можем да напишем този елемент с помощта на математическо представяне. Ородовият елемент ще бъде представен с малки букви (a, b, c ...) и, както при представянето на масиви, той също има индекс, който показва местоположението му. Първото число показва реда, в който е елементът, а второто число показва колоната, в която се намира.

Помислете за следната матрица А, ние ще изброим нейните елементи.

Наблюдавайки първия елемент, който се намира в първия ред и първата колона, тоест в ред първи и колона една, имаме числото 4. За да улесним писането, ще го обозначим с:

The₁₁ → ред един елемент, колона първа

Имаме следните елементи на матрица А_2x3:

The₁₁ = 4

The₁₂ =16

The₁₃ = 25

The₂₁ = 81

The₂₂ = 100

The₂₃ = 9

Като цяло можем да напишем масив като функция от неговите общи елементи, това е родова матрица.

Матрица от m ред и n колони е представена от:

Пример

Определете матрицата A = [a_ij ]_2x2, който има следния закон за обучение_ij = j² - 2i. От данните в изявлението имаме, че матрицата А е от порядък две по две, тоест има два реда и две колони, следователно:

Освен това е даден законът за образуване на матрицата, т.е. всеки елемент е удовлетворен от връзката с_ij = j² - 2i. Замествайки стойностите на i и j във формулата, имаме:

The₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

The₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

The₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

The₂₂= (2)² - 2(2) = 0

Следователно матрица А е:

Типове масиви

Някои матрици заслужават специално внимание, вижте сега тези видове масиви с примери.

квадратна матрица

Матрицата е квадратна, когато брой редове е равен на броя колони. Представяме матрицата, която има n редове и n колони от A_не(чете се: квадратна матрица от ред n).

В квадратните матрици имаме два много важни елемента, диагонали: основен и вторичен. Основният диагонал се формира от елементи, които имат равни индекси, тоест това е всеки елемент a_ij с i = j. Вторичният диагонал се формира от елементи a_ij с i + j = n +1, където n е матричен ред.

матрица за идентичност

Матрицата за идентичност е квадратна матрица, която има всичкоВиеелементи на главния диагонал, равен на 1 и други елементи, равни на 0, неговият закон за формиране е:

Обозначаваме тази матрица с I, където n е редът на квадратната матрица, вижте някои примери:

единична матрица

Това е квадратна матрица от един ред, т.е. има ред и колона и следователно само един елемент.

A = [-1]_1x1, B = I₁= (1)_1x1 и C = || 5 ||_1x1

Това са примери за унитарни матрици, с акцент върху матрица B, която е a единична матрица за идентичност.

нулева матрица

Казва се, че масив е нула, ако всички негови елементи са равни на нула. Представяме нулева матрица от порядък m по n по O_mxn.

Матрицата O е нула от порядък 4.

противоположна матрица

Да разгледаме две матрици с еднакъв ред: A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_mxn. Тези матрици ще бъдат наречени противоположни, ако и само ако,_ij = -b_ij. Поради това, съответните елементи трябва да бъдат противоположни числа.

Можем да представим матрицата B = -A.

транспонирана матрица

Две матрици A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_nxm те са транспониран ако и само ако_ij = b_джи, тоест, дадена матрица A, за да намерите транспонирането й, просто вземете редовете като колони.

Транспонирането на матрица A се означава с A^T. Вижте примера:

Виж повече: Обратна матрица: какво е това и как да се провери

Матрични операции

Наборът от матрици има операциите на aмного добре дефинирано събиране и умножение, тоест, когато работим с две или повече матрици, резултатът от операцията все още принадлежи към набора от матрици. Какво ще кажете за операцията по изваждане? Разбираме тази операция като обратна на добавянето (противоположна матрица), която също е много добре дефинирана.

Преди да дефинираме операциите, нека разберем идеите на съответстващ елемент и равенство на матриците. Съответните елементи са тези, които заемат една и съща позиция в различни матрици, тоест те се намират в един и същ ред и колона. Очевидно масивите трябва да бъдат от същия ред, за да съществуват съвпадащи елементи. Виж:

Елементи 14 и -14 са съответстващи елементи на противоположни матрици A и B, тъй като заемат една и съща позиция (същия ред и колона).

За две матрици ще се каже, че са равни, ако и само ако съответните елементи са равни. По този начин, като се имат предвид матриците A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_mxn, те ще бъдат еднакви, ако и само ако_ij= b_ij за всеки i j.

Пример

Знаейки, че матриците A и B са равни, определете стойностите на x и t.

Тъй като матриците A и B са равни, то съответните елементи трябва да са равни, следователно:

x = -1 и t = 1

Събиране и изваждане на матрици

Операциите на събиране и изваждане между матрици те са доста интуитивни, но първо условие трябва да бъде изпълнено. За да извършите тези операции, първо е необходимо да проверите дали поръчките на масиви са равни.

След като това условие е проверено, събирането и изваждането на матрицата става чрез добавяне или изваждане на съответните елементи на матриците. Да разгледаме матриците A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_mxn, тогава:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - Б_ij] _mxn

Пример

Помислете за матрици A и B по-долу, определете A + B и A - B.

Прочетете и вие: Операции с цели номера

Умножение на реално число по матрица

Умножението на реално число в матрица (известно още като умножение на матрица) със скалар се дава чрез умножаване на всеки елемент от матрицата по скалара.

Нека A = [a_ij]_mxn матрица и t реално число, така че:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Вижте примера:

Умножение на матрицата

Умножението на матриците не е толкова тривиално, колкото събирането и изваждането им. Преди да извършите умножението, трябва да бъде изпълнено и условие по отношение на реда на матриците. Помислете за матрици A_mxnи Б_nxr.

За да извършите умножението, броят на колоните в първата матрица трябва да е равен на броя на редовете във втората. Продуктовата матрица (която идва от умножение) има ред, зададен от броя на редовете в първия и броя на колоните във втория.

За да извършим умножението между матрици A и B, трябва да умножим всеки от редовете по всички колони, както следва: първият елемент на A се умножава по първия елемент на B и след това се добавя към втория елемент на A и се умножава по втория елемент на B, и така последователно. Вижте примера:

Прочетете и вие: Теорема на Лаплас: знайте как и кога да използвате

Решени упражнения

Въпрос 1 - (U. И. Londrina - PR) Нека матриците A и B са съответно 3 x 4 и p x q и ако матрицата A · B има ред 3 x 5, тогава е вярно, че:

а) p = 5 и q = 5

б) p = 4 и q = 5

в) p = 3 и q = 5

г) p = 3 и q = 4

д) p = 3 и q = 3

Решение

Имаме твърдението, че:

НА_3x4 · Б_pxq = С_3x5

От условието за умножаване на две матрици имаме, че произведението съществува само ако броят на колоните в първата е равен на броя на редовете във втората, така че p = 4. И също така знаем, че продуктовата матрица се дава от броя на редовете в първия с броя на колоните във втория, така че q = 5.

Следователно p = 4 и q = 5.

A: Алтернатива b

Въпрос 2 - (Vunesp) Определете стойностите на x, y и z на следното равенство, включващо 2 x 2 реални матрици.