Логаритъм е много важен инструмент не само за района на математика, тъй като има приложение в няколко области на науката, като география, химия и компютърни технологии.
Исторически логаритъмът възниква с цел улесняване на сметките които се появяваха често в няколко научни области. Джон Нейпиър е пионер в изследването на логаритмите и успява да разработи операцията, способна да трансформира продукти в сума, разделения на изваждания и потенции в умножения.
Определяйки тази операция, с течение на времето други математици формализираха определения и свойства, в допълнение, добре познатите дневник таблица.
Определение на логаритъма
Скицирайте графиката на логаритъмната функция (вдясно) и нейната експоненциална обратна (вляво).
помислете за две реални числа положителен The и Б., с до ≠ 0. логаритъма на Б. в основата The е числото х ако и само ако, The вдигнат до х е равно на числото Б..
Номенклатура:
→ базата
b → логаритъм
x → логаритъм
Вижте примерите:
Когато логаритъмът има основа, равна на 10, той се извиква
десетичен логаритъм. Когато регистрирате десетичен дневник, не е необходимо да пишете база 10. Договорено е:
Прочетете и вие: Десетична логаритъмна система
Как да изчислим логаритъм?
За да изчислим логаритъм, трябва да потърсим a число, което, когато вдигнем основата, води до логаритъма. Като вземем за пример логаритъма от 36 в основа 6 в предишния пример, трябва да намерим число, което, когато вдигнем основа 6, води до 36. като 62 = 36, с отговор 2. Нека разгледаме още примери:
1) Дневник 1000. За да изчислим този логаритъм, трябва да намерим число, което, повдигнато на 10, е равно на 1000, тоест 10х = 1000.
Решавайки експоненциалното уравнение, имаме:
10х=1000
10х = 103
x = 3
Следователно,
1. Изчислете логаритъма:
Трябва да намерим число, което до корена на 7 е равно на една четиридесет и девет. Решавайки уравнението, имаме:
Прочетете още: Експоненциално уравнение - уравнение с неизвестно в степен
Условие за съществуване на логаритъма
Обмислете следния логаритъм:
Изразът е дефиниран само когато основата е по-голяма от нула и е различна от единица и когато основата е по-голяма от нула, т.е.
a> 0 и a ≠ 0
b> 0
Собственост върху логаритми
Вижте основните от тях по-долу. свойства на логаритмите. Всички цитирани тук логаритми отговарят на условието за съществуване.
Имот 1
Логаритъмът на произведението на два фактора е равен на сумата от логаритмите на тези фактори.
Имот 2
Логаритъмът на коефициента между две числа е равен на разликата в логаритмите на тези числа.
Имот 3
Логаритъмът на степен е равен на умножаване на степента на степента по степента на логаритъма на основата на степента, където ние запазваме основата на логаритъма.
Имот 4
Логаритъмът на корен е равен на обратната на индекса на корена, умножен по логаритъма, където ние също запазваме основата.
Имот 5
Логаритъмът на число в основа, издигната до степен, е равно на умножението на обратното на степента на тази основа.
Знам повече: Приложения наогаритми: вижте примери
решени упражнения
Въпрос 1 - (Fuvest - SP) Ако x5 = 1000 и b3 = 100, така че логаритъмът на x в база b е:
А) 0,5
Б) 0.9
В) 1.2
Г) 1.5
Д) 2.0
Решение
Тъй като числата 1000 и 100 могат да бъдат записани в база 10, имаме:
Замествайки логаритъма на x в основа b и прилагайки дефиницията, имаме:
въпрос 2 - (Enem) Хидрогенният потенциал (pH) на разтвора се определя като индекс, който показва неговата киселинност, неутралност или алкалност. Намира се както следва:
като H+ концентрацията на водородни йони в този разтвор. РН на разтвор, където Н+ = 1,0 ·10-9, é:
Решение:
Замяна на стойността H+ във формулата на рН имаме:
От Л.до Робсън Луиз
Учител по математика