сбор и произведение Това е метод, използван за намиране на решенията на a уравнение. Използваме сумата и произведението като метод за изчисляване на корените на a Уравнение от 2-ра степен, от типа ax² + bx + c = 0.
Това е интересен метод, когато решенията на уравнението са цели числа. В случаите, когато решенията не са цели числа, може да бъде доста сложно да се използват сумата и произведението с други по-лесни методи за намиране на решенията на уравнението.
Прочетете също: Bhaskara — най-известната формула за решаване на квадратни уравнения
Обобщение за сума и продукт
- Сумата и произведението са един от методите, използвани за намиране на решенията на пълно квадратно уравнение.
- Чрез сумата и произведението, като се има предвид уравнението на 2-ра степен ax² + bx + c = 0, имаме:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- х1 то е х2 са решенията на квадратното уравнение.
- a, b и c са коефициентите на уравнението от 2-ра степен.
Какво е сбор и продукт?
Сумата и произведението са един от методите, които можем да използваме, за да намерим решенията на уравнение
. Използвани в уравнения от 2-ра степен, сумата и произведението могат да бъдат по-практичен метод за намиране на решенията на уравнение, тъй като се състои в търсене на числата, които удовлетворяват формулата за сбор и произведение за дадено уравнение.Формула за сбор и произведение
В квадратно уравнение от типа ax² + bx + c = 0, с решения, равни на x1 и х2, по сума и продукт, имаме:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Как да изчислим корени с помощта на сбор и произведение?
За да намерим решенията, първо търсим целите числа, чийто продукт е равен на \(\frac{c}{a}\).
Знаем, че решенията на уравнението могат да бъдат положителни или отрицателни:
- Положителен продукт и положителен сбор: и двата корена са положителни.
- Положителен продукт и отрицателна сума: и двата корена са отрицателни.
- Отрицателен продукт и положителен сбор: единият корен е положителен, а другият е отрицателен, като този с най-голям модул е положителен.
- Отрицателен продукт и отрицателна сума: единият корен е положителен, а другият е отрицателен, като този с най-голям модул е отрицателен.
По-късно, след като изброим всички продукти, които отговарят на уравнението, анализираме кой от тях отговаря на уравнението. уравнение на сумата, тоест кои са двете числа, които удовлетворяват уравнението на произведението и сумата едновременно.
Пример 1:
Намерете решенията на уравнението:
\(x²-5x+6=0\)
Първо ще заместим във формулата за сбора и произведението. Имаме, че a = 1, b = -5 и c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Тъй като сумата и произведението са положителни, корените са положителни. Анализирайки продукта, ние знаем, че:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Сега ще проверим кой от тези резултати има сума, равна на 5, която в този случай е:
\(2+3=5\)
И така, решенията на това уравнение са \(x_1=2\ и\ x_2=3\).
Пример 2:
Намерете решенията на уравнението:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Първо, ще заместим във формулата за сбора и произведението. Имаме a = 1, b = 2 и c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Тъй като сумата и произведението са отрицателни, корените са с противоположни знаци и този с най-голям модул е отрицателен. Анализирайки продукта, ние знаем, че:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\вляво(-12\вдясно)=-24\)
\(3\cdot\вляво(-8\вдясно)=-24\)
\(4\cdot\вляво(-6\вдясно)=-24\)
Сега нека проверим кой от тези резултати има сбор, равен на -2, което в случая е:
\(4+\ляво(-6\дясно)=-2\)
И така, решенията на това уравнение са \(x_1=4\ и\ x_2=-6\) .
Прочетете също: Как да решим непълно квадратно уравнение
Решени упражнения върху сбор и произведение
Въпрос 1
бъда г то е z корените на уравнение 4х2-3х-1=0, стойността на 4(y+4)(z+4) é:
А) 75
Б) 64
В) 32
Г) 18
Д) 16
Резолюция:
Алтернатива А
Изчисляване по сбор и произведение:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
И така, ние трябва:
\(4\вляво (y+4\вдясно)\вляво (z+4\вдясно)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ правилно)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\вляво (y+4\вдясно)\вляво (z+4\вдясно)=4\вляво(\frac{76-1}{4}\вдясно)\)
\(4\вляво (y+4\вдясно)\вляво (z+4\вдясно)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\вляво (y+4\вдясно)\вляво (z+4\вдясно)=75\)
въпрос 2
Като се има предвид уравнението 2х2 + 8x + 6 = 0, нека S е сумата от корените на това уравнение и P е произведението на корените на уравнението, тогава стойността на операцията (S - P)2 é:
А) 36
Б) 49
В) 64
Г) 81
Д) 100
Резолюция:
Алтернатива Б
Изчисляване по сбор и произведение:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
И така, ние трябва:
\(\ляво(-4-3\дясно)^2=\ляво(-7\дясно)^2=49\)
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
