Хипербола. дефиниция на хипербола

Какво е хипербола?
Определение: Нека F1 и F2 са две точки на равнината и нека 2c е разстоянието между тях, хипербола е множеството на точките в равнината, чиято разлика (в модул) на разстоянията до F1 и F2 е константата 2a (0 <2a <2c).
Елементи на хипербола:

F1 и F2 → са огнищата на хипербола
→ е центърът на хиперболата
2c → фокусно разстояние
2-ро → измерване на реална или напречна ос
2b → измислено измерване на оста
c / a → ексцентричност
Има връзка между a, b и c → c² =² + b²

Намалено уравнение на хипербола
1-ви случай: Хипербола с фокуси по оста x.

Ясно е, че в този случай фокусите ще имат координати F1 (-c, 0) и F2 (c, 0).
По този начин намаленото уравнение на елипсата с център в началото на декартовата равнина и фокусира върху оста x ще бъде:

2-ри случай: Хипербола с фокуси по оста y.

В този случай фокусите ще имат координати F1 (0, -c) и F2 (0, c).
Така намаленото уравнение на елипсата с център в началото на декартовата равнина и фокусира върху оста y ще бъде:

Пример 1. Намерете намаленото уравнение на хиперболата с реална ос 6, фокуси F1 (-5, 0) и F2 (5, 0).

Решение: Трябва
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) и F2 (5, 0) → c = 5
От забележителната връзка получаваме:
° С² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
По този начин намаленото уравнение ще бъде дадено от:

Пример 2. Намерете уравнението за намалена хипербола, което има две фокуси с координати F2 (0, 10) и въображаема ос с размери 12.
Решение: Трябва
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Използвайки забележителната връзка, получаваме:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
По този начин уравнението на намалената хипербола ще бъде дадено от:

Пример 3. Определете фокусното разстояние на хиперболата с уравнение
Решение: Тъй като уравнението на хиперболата е от тип  Ние трябва да
The² = 16 и b² =9
От забележителната връзка, която получаваме
° С² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Фокусното разстояние е дадено от 2c. Поради това,
2в = 2 * 5 = 10
Значи фокусното разстояние е 10.

От Марсело Ригонато
Специалист по статистика и математическо моделиране
Училищен отбор на Бразилия

Аналитична геометрия - Математика - Бразилско училище