симетрична матрица е централно управление в който всеки елемент \(a_{ij}\) е равно на елемента \(a_{ji}\) за всички стойности на i и j. Следователно всяка симетрична матрица е равна на нейното транспониране. Също така си струва да се спомене, че всяка симетрична матрица е квадратна и че главният диагонал действа като ос на симетрия.
Прочетете също:Събиране и изваждане на матрица — как се изчислява?
Резюме за симетрична матрица
В симетрична матрица, \(a_{ij}=a_{ji}\) за всички i и j.
Всяка симетрична матрица е квадратна.
Всяка симетрична матрица е равна на нейното транспониране.
Елементите на симетричната матрица са симетрични спрямо главния диагонал.
Докато в симетричната матрица \(a_{ij}=a_{ji}\) за всички i и j; в антисиметрична матрица, \(a_{ij}=-a_{ji}\) за всички i и j.
Какво е симетрична матрица?
Симетрична матрица е квадратна матрица, където \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) за всяко i и всяко j. Това означава, че \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), и така нататък, за всички възможни стойности на i и j. Не забравяйте, че възможните стойности на i съответстват на редовете на матрицата, а възможните стойности на j съответстват на колоните на матрицата.
Примери за симетрични матрици
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Примери за несиметрични матрици (помислете \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Важно: Да се каже, че една матрица не е симетрична, означава да се покаже това \(a_{ij}≠a_{ji}\) за поне някои i и j (което можем да видим, като сравним предишните примери). Това е различно от концепцията за антисиметричната матрица, която ще видим по-късно.
Какви са свойствата на симетричната матрица?
Всяка симетрична матрица е квадратна
Имайте предвид, че дефиницията на симетрична матрица се основава на квадратни матрици. Така всяка симетрична матрица има същия брой редове като броя на колоните.
Всяка симетрична матрица е равна на нейното транспониране
Ако A е матрица, нейната транспониран (\(A^T\)) се дефинира като матрицата, чиито редове са колоните на A и чиито колони са редовете на A. Така че, ако A е симетрична матрица, имаме \(A=A^T\).
В симетричната матрица елементите се „отразяват” по отношение на главния диагонал
Като \(a_{ij}=a_{ji}\) в симетрична матрица елементите над главния диагонал са „отражения“ на елементите отдолу на диагонала (или обратното) по отношение на диагонала, така че главният диагонал действа като ос на симетрия.
Какви са разликите между симетричната матрица и антисиметричната матрица?
Ако A е симетрична матрица, тогава \(a_{ij}=a_{ji}\) за всички i и всички j, както изучавахме. В случая с антисиметричната матрица ситуацията е различна. Ако B е антисиметрична матрица, тогава \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) за всяко i и всяко j.
Имайте предвид, че това води до \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), това е, главните диагонални елементи са нула. Следствие от това е, че транспонирането на антисиметрична матрица е равно на нейната противоположност, т.е. ако B е антисиметрична матрица, тогава \(B^T=-B\).
Примери за антисиметрични матрици
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Вижте също: Идентификационна матрица — матрицата, в която основните диагонални елементи са равни на 1, а останалите елементи са равни на 0
Решени упражнения върху симетрична матрица
Въпрос 1
(Unicentro)
ако матрицата \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) е симетричен, така че стойността на xy е:
А) 6
Б) 4
В) 2
Г) 1
Д) -6
Резолюция:
Алтернатива А
Ако дадената матрица е симетрична, тогава елементите в симетрични позиции са равни (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Следователно ние трябва:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Смяна на първия уравнение във втория заключаваме, че \(y=3\), скоро:
\(x=2\) то е \(xy=6\)
въпрос 2
(UFSM) Знаейки, че матрицата \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) е равно на неговото транспониране, стойността на \(2x+y\) é:
А) -23
Б) -11
В) -1
Г) 11
Д) 23
Резолюция:
Алтернатива C
Тъй като дадената матрица е равна на нейното транспониране, тогава тя е симетрична матрица. По този начин елементите в симетрични позиции са равни (\(a_{ij}=a_{ji}\)), т.е.:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
По първото уравнение, х=-6 или х=6. Чрез третото уравнение получаваме правилния отговор: х= -6. По второто уравнение, y=11.
Скоро:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
