А пропорция златист или божествената пропорция е равенство, свързано с идеите за хармония, красота и съвършенство. Евклид от Александрия, гръцки математик, живял около 300 г. пр.н.е. C., е един от първите мислители, които формализират тази концепция, която и до днес интригува изследователи от различни области.
Причината за този интерес е, че златното сечение може да се наблюдава приблизително в природата, включително в семената и листата на растенията и в човешкото тяло. Следователно златното сечение е обект на изследване от различни професионалисти, като биолози, архитекти, художници и дизайнери.
Прочетете също: Числото пи е една от най-важните константи в математиката
Резюме за златното сечение
Златното сечение е съотношението за \(a>b>0\) такова, че
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
При тези условия причината Theб се нарича златно сечение.
Златното сечение е свързано с концепциите за баланс, чистота и съвършенство.
Гръцката буква ϕ (да се чете: fi) представлява златното число, което е константата, получена от златното сечение.
В редицата на Фибоначи частното между всеки член и неговия предшественик се доближава до златното число.
Златният правоъгълник е правоъгълник, чиито страни са в златното сечение.
Какво е златно сечение?
Помислете за линеен сегмент, разделен на две части: по-голямата с мярка The и най-малката б. осъзнай това a+b е мярката за целия сегмент.
златното сечение е равенството сред причините\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) то е \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), т.е
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
В този контекст ние казваме това The то е б са в златно сечение.
Но за какви стойности на The то е б имаме ли златното сечение? Това ще видим по-нататък.
Как да изчислим златното число?
Причината \(\frac{a}b\)(или по същия начин, причината \(\frac{a+b}a\)) води до константа, наречена златно число и представена с гръцката буква ϕ. По този начин е обичайно да се пише
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
За да изчислим златното число, нека разгледаме златното сечение за b = 1. Така можем лесно да намерим стойността на The и вземете ϕ от равенството \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Обърнете внимание, че можем да запишем златното сечение по следния начин, използвайки свойството за кръстосано умножение:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Като заместим b = 1, имаме
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Прилагане на формулата на Бхаскара за това квадратно уравнение заключаваме, че положителното решение на The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Като The е мярка на сегмент, ще пренебрегнем отрицателното решение.
И как \(\frac{a}b=ϕ\), Точната стойност на златното число е:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Изчислявайки коефициента, получаваме Приблизителната стойност на златното число:
\(ϕ≈1,618033989\)
Вижте също: Как се решават математически операции с дроби?
Златното сечение и последователността на Фибоначи
А Последователността на Фибоначи е списък от числа където всеки член, започвайки от третия, е равен на сумата от двата предходни. Нека да разгледаме първите десет термина от тази последователност:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Като изчисляваме коефициента между всеки термин и неговия предшественик в редицата на Фибоначи, наближаваме златното число ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Златно сечение и златният правоъгълник
един правоъгълник където е най-дългата страна The и по-малката страна б са в златно сечение нарича се златният правоъгълник. Пример за златен правоъгълник е правоъгълник, чиито страни са с размери 1 cm и \(\frac{1+\sqrt5}2\) см.
Знам повече: Какво представляват правопропорционалните количества?
Приложения на златното сечение
Имайте предвид, че досега сме изучавали златното сечение само в абстрактни математически контексти. След това ще видим някои приложени примери, но е необходимо внимание: златното сечение не е представено точно в нито един от тези случаи. Това, което съществува, са анализи на различни контексти, в които златното число изглежда такаприблизителен.
Златно сечение в архитектурата
Някои проучвания твърдят, че оценките на количеството злато се наблюдават в определени съотношения на размерите на Хеопсовата пирамида в Египет и сградата на централата на ООН в Ню Йорк.
Златно сечение в човешкото тяло
Измерванията на човешкото тяло варират от един човек на друг и няма идеален тип тяло. Въпреки това, поне от Древна Гърция, има дебати за математически идеално тяло (и напълно непостижимо в действителност), с измервания, свързани със златното сечение. В този теоретичен контекст, напр. съотношението на височината на човек към разстоянието между пъпа му и земята би било златното число.
златно сечение в изкуството
Има изследвания върху творбите „Витрувианският човек“ и „Мона Лиза“ на италианеца Леонардо да Винчи, които предполагат, че използване на златни правоъгълници.
Златно сечение в природата
Има проучвания, които сочат, че a връзката между златното сечение и начина, по който са разпределени листата на определени растения на стъбло. Това разположение на листата се нарича филотаксия.
Златно сечение в дизайна
Златното сечение също се изучава и използва в областта на дизайна като инструмент за съставяне на проект.
Решени упражнения върху златното сечение
Въпрос 1
(Enem) Линеен сегмент е разделен на две части в златното сечение, когато цялото е към една от частите в същото съотношение, в което тази част е към другата. Тази константа на пропорционалност обикновено се представя с гръцката буква ϕ и нейната стойност се дава от положителното решение на уравнението ϕ2 = ϕ+1.
Точно като силата \(ϕ^2\), по-високите степени на ϕ могат да бъдат изразени във формата \(aϕ+b\), където a и b са цели положителни числа, както е показано в таблицата.
потентността \(ϕ^7\), записан във формата aϕ+b (a и b са цели положителни числа), е
а) 5ϕ+3
б) 7ϕ+2
в) 9ϕ+6
г) 11ϕ+7
д) 13ϕ+8
Резолюция
Като \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Ние трябва да
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Прилагайки разпределителната,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Като \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
Е алтернатива.
въпрос 2
Оценете всяко твърдение по-долу за златното число като T (вярно) или F (невярно).
аз Златното число ϕ е ирационално.
II. Коефициентите между всеки член и неговия предшественик в редицата на Фибоначи се доближават до стойността на ϕ.
III. 1,618 е закръгляването до три знака след десетичната запетая на златното число ϕ.
Правилната последователност отгоре надолу е
а) V-V-V
б) F-V-F
в) V-F-V
г) Ж-Ж-Ж
д) F-V-V
Резолюция
аз Вярно.
II. Вярно.
III. Вярно.
Алтернатива А.
Източници
ФРАНЦИСКО, С. В. от Л. Между очарованието и реалността на златното сечение. Дисертация (професионална магистърска степен по математика в националната мрежа) – Институт по бионауки, литература и точни науки, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Сао Пауло, 2017 г. Достъпен в: http://hdl.handle.net/11449/148903.
СЕЙЛС, Дж. от С. Златното сечение присъства в природата. Завършване на курсова работа (степен по математика), Федерален институт за образование, наука и технологии на Piauí. Пиауи, 2022 г. Достъпен в http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/дръжка/123456789/1551.
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
