Транспонирана матрица: какво е това, свойства, примери

НА транспонирана матрица на матрица M е матрица M^T. става въпрос за централно управление които ще получим когато пренаписваме матрицата M, променяйки позицията на редовете и колоните, превръщайки първия ред на M в първата колона на M^T, вторият ред на M във втората колона на M^T, и така нататък.

Ако матрицата M има м линии и не колони, нейната транспонирана матрица, т.е. M^T, ще има не линии и м колони. Има специфични свойства за транспонираната матрица.

Прочетете също: Какво е триъгълна матрица?

Как се получава транспонираната матрица?

Дадена матрица A_mxn, знаем като матрица, транспонирана от A в матрица A^T_{n x m}. За да намерите транспонираната матрица, просто променете позицията на редовете и колоните на матрица А. Каквото и да е първият ред на матрица A, това ще бъде първата колона на транспонирана матрица A^T, вторият ред на матрица A ще бъде втората колона на матрица A^T, и така нататък.

Алгебрично нека M = (m_ij)_mxn, транспонираната матрица на M е M^T = (m_джи) _{n x m}.

Пример:

Намерете матрицата, транспонирана от матрицата:

instagram story viewer

Matrix M е матрица 3x5, така че нейното транспониране ще бъде 5x3. За да намерим транспонираната матрица, ще направим първия ред на матрицата M първата колона на матрицата M^T.

Вторият ред на матрица M ще бъде втората колона на транспонираната матрица:

И накрая, третият ред на матрица M ще стане третата колона на матрица M.^T:

симетрична матрица

Въз основа на концепцията за транспонирана матрица е възможно да се определи какво представлява симетрична матрица. Матрицата е известна като симетрична когато е равна на вашата транспонирана матрица, т.е., като се има предвид матрицата M, M = M^T.

За да се случи това, матрицата трябва да е квадратна, което означава, че за да бъде матрицата симетрична, броят на редовете трябва да е равен на броя на колоните.

Пример:

Когато анализираме термините над главния диагонал и термините под главния диагонал на матрицата S е възможно да се види, че има термини, които те са същите, което го прави известен като симетричен точно поради симетрията на матрицата спрямо основния диагонал.

Ако намерим транспонирането на матрицата S, възможно е да видим, че S^T е равно на S.

Като S = S^T, тази матрица е симетрична.

Вижте също: Как да решим линейни системи?

Транспонирани свойства на матрицата

1-ви имот: транспонирането на транспонирана матрица е равно на самата матрица:

(М^T)^T = М

2-ри имот: транспонирането на сумата между матриците е равно на сумата от транспонирането на всяка от матриците:

(M + N)^T = М^T+ N^T

3-ти имот: транспонирането на умножение между две матрици е равно на умножението на транспонирането на всяка от матриците:

(M · N)^T = М^T · Н^T

4-ти имот: О детерминанта на матрицата е равно на детерминанта на транспонираната матрица:

det (M) = det (M^T)

5-то свойство: транспонирането на матрицата по константата е равно на транспонирането на матрицата по константата:

(kA)^T = kA^T

Обратна матрица

Концепцията за обратна матрица е доста различна от концепцията за транспонирана матрица и е важно да се подчертае разликата между тях. Обратната матрица на матрица M е матрицата M^-1, където произведението между М и М матриците^-1 е равно на матрицата за идентичност.

Пример:

За да научите повече за този тип матрица, прочетете нашия текст: Обратна матрица.

противоположна матрица

Като друг случай на специална матрица, матрицата, противоположна на матрица M, е матрица -M. Знаем като противоположната матрица на M = (m_ij) матрицата -M = (-m_ij). Противоположната матрица е съставена от противоположните членове на матрица М.