Учете с решените упражнения за синус, косинус и тангенс. Практикувайте и изчистете съмненията си с коментираните упражнения.
Въпрос 1
Определете стойностите на x и y в следния триъгълник. Помислете за sin 37º = 0,60, косинус от 37º = 0,79 и tan 37º = 0,75.
Отговор: y = 10,2 m и x = 13,43 m
За да определим y, използваме синуса от 37º, който е отношението на противоположната страна към хипотенузата. Струва си да се помни, че хипотенузата е отсечката срещу ъгъла от 90º, така че струва 17 m.
За да определим x, можем да използваме косинуса от 37º, което е съотношението между страната, съседна на ъгъла от 37º, и хипотенузата.
въпрос 2
В следващия правоъгълен триъгълник определете стойността на ъгъла , в градуси и неговия синус, косинус и тангенс.
Обмисли:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Отговор: ,
В триъгълник сумата от вътрешните ъгли е равна на 180°. Тъй като е правоъгълен триъгълник, има ъгъл от 90º, така че остават още 90º за двата ъгъла.
По този начин имаме:
Тъй като тези ъгли се допълват (от единия от тях другият е колко остава за завършване на 90º), е валидно, че:
cos 62º = sin 28º = 0,47
и
sin 62º = cos 28º = 0,88
Изчисляване на тангенса
Тангенсът е отношението на синуса към косинуса.
въпрос 3
В определено време на слънчев ден сянката на къща се проектира на 23 метра. Този остатък прави 45º спрямо земята. По този начин определете височината на къщата.
Отговор: Височината на къщата е 23м.
За да определим височина, като знаем ъгъла на наклон, използваме тангенса на ъгъла от 45°.
Допирателната 45° е равна на 1.
Къщата и сянката на земята са краката на правоъгълен триъгълник.
Така височината на къщата е 23 м.
въпрос 4
Геодезистът е професионалист, който използва математически и геометрични познания, за да прави измервания и да изучава повърхност. Използване на теодолит, инструмент, който, наред с други функции, измерва ъгли, разположен на 37 метра далеч от сграда, той открива ъгъл от 60° между равнина, успоредна на земята, и височината на сграда. Ако теодолитът е бил на статив на 180 см от земята, определете височината на сградата в метри.
обмисли
Отговор: Височината на сградата е 65,81 m.
Правим скица на ситуацията, която имаме:
По този начин височината на сградата може да се определи с помощта на тангенса от 60º от височината на теодолита, като резултатът се добавя с 180 cm или 1,8 m, тъй като това е височината, на която се намира от земята.
60° допирателната е равна на .
Височина от теодолита
Обща височина
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Височината на сградата е 65,81 м.
въпрос 5
Определете периметъра на петоъгълника.
Обмисли:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
тен 67° = 2,35
Отговор: Периметърът е 219,1 m.
Периметърът е сборът от страните на петоъгълника. Тъй като има правоъгълна част с размери 80 m, отсрещната страна също е с дължина 80 m.
Периметърът се дава от:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Битие на, успоредно на синята пунктирана линия, можем да определим нейната дължина, използвайки допирателната от 67°.
За да определим стойността на b, използваме косинус от 67°
Значи периметърът е:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
въпрос 6
Намерете синуса и косинуса на 1110°.
Имайки предвид тригонометричния кръг, имаме, че пълен завой има 360°.
Когато разделим 1110° на 360°, получаваме 3,0833.... Това означава 3 пълни оборота и малко повече.
Като вземем 360° x 3 = 1080° и извадим от 1110, имаме:
1110° - 1080° = 30°
Приемайки посоката обратно на часовниковата стрелка за положителна, след три пълни завъртания се връщаме в началото, 1080° или 0°. От тази точка се придвижваме с още 30°.
Значи синусът и косинусът от 1110° са равни на синусите и косинусите от 30°
въпрос 7
(CEDERJ 2021) Учейки за тригонометричен тест, Джулия научи, че sin² 72° е равно на
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Основната връзка на тригонометрията казва, че:
Където x е стойността на ъгъла.
Като вземем x = 72º и изолираме синуса, имаме:
въпрос 8
Рампите са добър начин да се осигури достъпност за хора с инвалидни колички и хора с намалена подвижност. Достъпът до сгради, мебели, пространства и градско оборудване е гарантиран от закона.
Бразилската асоциация на техническите норми (ABNT), в съответствие с бразилския закон за включване на лица с Инвалидност (13,146/2015), регламентира конструкцията и определя наклона на рампите, както и изчисленията за тяхното строителство. Указанията за изчисляване на ABNT показват максимална граница на наклона от 8,33% (съотношение 1:12). Това означава, че рампата, за да се преодолее разлика от 1 m, трябва да бъде най-малко 12 m дълга и това дефинира, че ъгълът на наклона на рампата по отношение на хоризонталната равнина не може да бъде по-голям от 7°.
Според предишната информация, така че рампа с дължина 14 m и наклон от 7º в по отношение на равнината, е в рамките на нормите ABNT, трябва да служи за преодоляване на пролука с максимална височина от
Използване: sin 7th = 0,12; cos 7º = 0,99 и тен 7º = 0,12.
а) 1,2 м.
б) 1,32 m.
в) 1,4 m.
г) 1,56 м.
д) 1,68 m.
Рампата образува правоъгълен триъгълник с дължина 14 m, образуващ ъгъл от 7º спрямо хоризонталата, където височината е страната, противоположна на ъгъла.
Използване на синус от 7°:
Височината, която трябва да достигне рампата е 1,68 m.
въпрос 9
(Unesp 2012) Сграда на болница се строи върху наклонен терен. За оптимизиране на конструкцията, отговорният архитект проектира паркинга в сутерена на сградата, с вход от задната улица на терена. Рецепцията на болницата е на 5 метра над нивото на паркинга, което налага изграждането на права рампа за достъп на пациенти с трудности при придвижване. Фигурата представя схематично тази рампа (r), свързваща точка А, на приемния етаж, с точка B, на етажа за паркиране, който трябва да има минимален α наклон от 30º и максимум 45º.
При тези условия и предвид , какви трябва да бъдат максималните и минималните стойности в метри на дължината на тази рампа за достъп?
Отговор: Дължината на рампата за достъп ще бъде минимум 7 m и максимум 10 m.
Проектът вече предвижда и определя височината на 5 м. Трябва да изчислим дължината на рампата, която е хипотенузата на правоъгълния триъгълник, за ъглите от 30° и 45°.
За изчислението използвахме синуса на ъгъла, който е съотношението между противоположната страна, 5m, и хипотенузата r, която е дължината на рампата.
За забележимите ъгли 30° и 45° стойностите на синусите са:
за 30°
до 45°
рационализиращи
Заместване на стойността на
въпрос 10
(EPCAR 2020) През нощта хеликоптер на бразилските военновъздушни сили лети над равнинен регион и забелязва БЛА (въздушно превозно средство Безпилотен) с кръгла форма и незначителна височина, с радиус 3 m, паркиран успоредно на земята на 30 m от височина.
БЛА е на разстояние y метра от прожектора, който е монтиран на хеликоптера.
Лъчът светлина от прожектора, който преминава през UAV, пада върху плоската област и произвежда кръгла сянка с център O и радиус R.
Радиусът R на обиколката на сянката образува ъгъл от 60º със светлинния лъч, както се вижда на следващата фигура.
В този момент човек, който се намира в точка А на обиколката на сянката, бяга до точка О, крак от перпендикуляра, начертан от прожектора към равнината.
Разстоянието в метри, което този човек изминава от А до О, е число между тях
а) 18 и 19
б) 19 и 20
в) 20 и 21
г) 22 и 23
обективен
Определете дължината на сегмента , радиус на окръжността на сянката.
Данни
- Височината от O до UAV е 30 m.
- Радиусът на БЛА е 3 m.
Използвайки допирателната от 60°, ние определяме частта, маркирана в червено на следното изображение:
Като се има предвид допирателната на 60° = а допирателната е съотношението между страната, противоположна на ъгъла, и съседната му страна, имаме:
рационализиращи
Дължината AO е
доближавайки се до стойността на
Приблизителното измерване на сегмента AO е 20,3 m, тоест стойност между 20 и 21.
Учете също с:
- Синус, косинус и тангенс
- Упражнения по тригонометрия в правоъгълен триъгълник
- Упражнения по тригонометрия
- Тригонометрия в правоъгълния триъгълник
- Тригонометрия
- тригонометрични идентичности
- Упражнения върху тригонометрични съотношения
- Метрични отношения в правоъгълния триъгълник
- Тригонометрични отношения
- ъгли
- Тригонометрични съотношения
- тригонометрична таблица
- Тригонометрични функции
- Тригонометричен кръг
- Закон на синусите
- Закон за косинуси