Упражнения за синус, косинус и тангенс

Учете с решените упражнения за синус, косинус и тангенс. Практикувайте и изчистете съмненията си с коментираните упражнения.

Въпрос 1

Определете стойностите на x и y в следния триъгълник. Помислете за sin 37º = 0,60, косинус от 37º = 0,79 и tan 37º = 0,75.

виж отговора

Отговор: y = 10,2 m и x = 13,43 m

За да определим y, използваме синуса от 37º, който е отношението на противоположната страна към хипотенузата. Струва си да се помни, че хипотенузата е отсечката срещу ъгъла от 90º, така че струва 17 m.

s и n пространство 37º е равно на y върху пространство 17 17. s пространство и n пространство 37º е равно на y 17 пространство. интервал 0 запетая 60 интервал е равен на y интервал 10 запетая 2 m интервал е равен на y интервал

За да определим x, можем да използваме косинуса от 37º, което е съотношението между страната, съседна на ъгъла от 37º, и хипотенузата.

cos пространство 37º е равно на x върху 17 17 пространство. пространство cos пространство 37º е равно на x 17 пространство. интервал 0 запетая 79 интервал е равен на интервал x 13 запетая 4 m пространство приблизително равен интервал x

въпрос 2

В следващия правоъгълен триъгълник определете стойността на ъгъла прав синигер , в градуси и неговия синус, косинус и тангенс.

Обмисли:

sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88

виж отговора

Отговор: тета се равнява на знак от 62 градуса , cos интервал 62 градуса знак приблизително равен на 0 запетая 47 запетая s и n интервал 62 градуса знак приблизително равно 0 запетая 88 интервал и интервал интервал tan интервал 62 градуса знак пространство приблизително равен интервал 1 точка 872.

В триъгълник сумата от вътрешните ъгли е равна на 180°. Тъй като е правоъгълен триъгълник, има ъгъл от 90º, така че остават още 90º за двата ъгъла.

По този начин имаме:

28-то пространство плюс пространство тета пространство е равно на пространство 90 º тета пространство е равно пространство 90 º пространство минус пространство 28 º тета пространство е равно пространство 62 º

Тъй като тези ъгли се допълват (от единия от тях другият е колко остава за завършване на 90º), е валидно, че:

instagram story viewer

cos 62º = sin 28º = 0,47

sin 62º = cos 28º = 0,88

Изчисляване на тангенса

Тангенсът е отношението на синуса към косинуса.

tan интервал 62º интервал е равен на интервал числител s и n интервал 62º над знаменател cos пространство 62º край на дроб е равна на числител 0 запетая 88 над знаменател 0 запетая 47 край на дроб приблизително равен на 1 запетая 872

въпрос 3

В определено време на слънчев ден сянката на къща се проектира на 23 метра. Този остатък прави 45º спрямо земята. По този начин определете височината на къщата.

виж отговора

Отговор: Височината на къщата е 23м.

За да определим височина, като знаем ъгъла на наклон, използваме тангенса на ъгъла от 45°.

Допирателната 45° е равна на 1.

Къщата и сянката на земята са краката на правоъгълен триъгълник.

tan интервал 45 º е равен на числител c a t e t o интервал o post t o над знаменател c a t e t o интервал a d j a c e n t e краят на дроба е равен на числител a l t u r a интервал d a пространство c a s a над знаменател m e d i d a интервал d a интервал s om br r край на дроб tan пространство 45 º е равно на a над 23 1 е равно на a над 23 a интервал е равен на пространство 23 пространство м

Така височината на къщата е 23 м.

въпрос 4

Геодезистът е професионалист, който използва математически и геометрични познания, за да прави измервания и да изучава повърхност. Използване на теодолит, инструмент, който, наред с други функции, измерва ъгли, разположен на 37 метра далеч от сграда, той открива ъгъл от 60° между равнина, успоредна на земята, и височината на сграда. Ако теодолитът е бил на статив на 180 см от земята, определете височината на сградата в метри.

обмисли корен квадратен от 3 е равен на 1 точка 73

виж отговора

Отговор: Височината на сградата е 65,81 m.

Правим скица на ситуацията, която имаме:

По този начин височината на сградата може да се определи с помощта на тангенса от 60º от височината на теодолита, като резултатът се добавя с 180 cm или 1,8 m, тъй като това е височината, на която се намира от земята.

60° допирателната е равна на корен квадратен от 3 .

Височина от теодолита

tan интервал 60 º интервал е равен на пространство числител височина пространство d пространството p r е d i o над знаменател 37 край на дроб квадратен корен от 3 интервал е равен на числителното пространство a l t u r a интервал d пространството p r е d i o над знаменател 37 край на дроб 1 запетая 73 интервал. интервал 37 интервал равен на l t ur интервал d o интервал p r е d i o 64 запетая 01 интервал равен на интервал a l t u r интервал d o интервал p r e d i o

Обща височина

64,01 + 1,8 = 65,81 m

Височината на сградата е 65,81 м.

въпрос 5

Определете периметъра на петоъгълника.

Обмисли:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
тен 67° = 2,35

виж отговора

Отговор: Периметърът е 219,1 m.

Периметърът е сборът от страните на петоъгълника. Тъй като има правоъгълна част с размери 80 m, отсрещната страна също е с дължина 80 m.

Периметърът се дава от:

P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b

Битие на, успоредно на синята пунктирана линия, можем да определим нейната дължина, използвайки допирателната от 67°.

tan интервал 67 градуса знак е равен на над 10 2 запетая 35 интервал е равен на интервал над 10 2 запетая 35 интервал. интервал 10 интервал е равен на интервал a 23 запетая 5 интервал е равен на интервал a

За да определим стойността на b, използваме косинус от 67°

cos пространство 67 градуса знак пространство е равно на пространство 10 върху b b е равно на числител 10 върху знаменател cos пространство 67 знак на степен край на дроб b е равен на числител 10 върху знаменател 0 запетая 39 край на дроб b интервал приблизително равен на 25 запетая 6

Значи периметърът е:

P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

въпрос 6

Намерете синуса и косинуса на 1110°.

виж отговора

Имайки предвид тригонометричния кръг, имаме, че пълен завой има 360°.

Когато разделим 1110° на 360°, получаваме 3,0833.... Това означава 3 пълни оборота и малко повече.

Като вземем 360° x 3 = 1080° и извадим от 1110, имаме:

1110° - 1080° = 30°

Приемайки посоката обратно на часовниковата стрелка за положителна, след три пълни завъртания се връщаме в началото, 1080° или 0°. От тази точка се придвижваме с още 30°.

Значи синусът и косинусът от 1110° са равни на синусите и косинусите от 30°

s и n пространство 1110 градуса знак пространство е равно на пространство s и n пространство 30 градуса знак пространство е равно пространство 1 половина cos пространство 1110 знак на градус пространство е равно пространство cos пространство 30 градуса знак пространство е равно пространство числител квадратен корен от 2 над знаменател 2 край на фракция

въпрос 7

(CEDERJ 2021) Учейки за тригонометричен тест, Джулия научи, че sin² 72° е равно на

1 - cos² 72°.

cos² 72° - 1.

tg² 72° - 1.

1 - tg² 72º.

обратната връзка е обяснена

Основната връзка на тригонометрията казва, че:

s и n на квадрат x пространство плюс пространство cos на квадрат x е равно на 1

Където x е стойността на ъгъла.

Като вземем x = 72º и изолираме синуса, имаме:

s и n на квадрат пространство 72º е равно на 1 минус cos на квадрат пространство 72º

въпрос 8

Рампите са добър начин да се осигури достъпност за хора с инвалидни колички и хора с намалена подвижност. Достъпът до сгради, мебели, пространства и градско оборудване е гарантиран от закона.

Бразилската асоциация на техническите норми (ABNT), в съответствие с бразилския закон за включване на лица с Инвалидност (13,146/2015), регламентира конструкцията и определя наклона на рампите, както и изчисленията за тяхното строителство. Указанията за изчисляване на ABNT показват максимална граница на наклона от 8,33% (съотношение 1:12). Това означава, че рампата, за да се преодолее разлика от 1 m, трябва да бъде най-малко 12 m дълга и това дефинира, че ъгълът на наклона на рампата по отношение на хоризонталната равнина не може да бъде по-голям от 7°.

Според предишната информация, така че рампа с дължина 14 m и наклон от 7º в по отношение на равнината, е в рамките на нормите ABNT, трябва да служи за преодоляване на пролука с максимална височина от

Използване: sin 7th = 0,12; cos 7º = 0,99 и тен 7º = 0,12.

а) 1,2 м.

б) 1,32 m.

в) 1,4 m.

г) 1,56 м.

д) 1,68 m.

обратната връзка е обяснена

Рампата образува правоъгълен триъгълник с дължина 14 m, образуващ ъгъл от 7º спрямо хоризонталата, където височината е страната, противоположна на ъгъла.

Използване на синус от 7°:

s и n интервал 7 градуса знак, равен на интервал от над 1414. s пространство и n пространство 7 градуса знак пространство е равно на пространство a14 пространство. интервал 0 запетая 12 интервал е равен на интервал a1 запетая 68 интервал е равен на интервал a

s и n 7-то пространство е равно на интервал от над 140 точки 12. интервал 14 интервал е равен на интервал a1 запетая 68 интервал е равен на интервал a

Височината, която трябва да достигне рампата е 1,68 m.

въпрос 9

(Unesp 2012) Сграда на болница се строи върху наклонен терен. За оптимизиране на конструкцията, отговорният архитект проектира паркинга в сутерена на сградата, с вход от задната улица на терена. Рецепцията на болницата е на 5 метра над нивото на паркинга, което налага изграждането на права рампа за достъп на пациенти с трудности при придвижване. Фигурата представя схематично тази рампа (r), свързваща точка А, на приемния етаж, с точка B, на етажа за паркиране, който трябва да има минимален α наклон от 30º и максимум 45º.

При тези условия и предвид корен квадратен от 2 е равен на 1 точка 4 , какви трябва да бъдат максималните и минималните стойности в метри на дължината на тази рампа за достъп?

виж отговора

Отговор: Дължината на рампата за достъп ще бъде минимум 7 m и максимум 10 m.

Проектът вече предвижда и определя височината на 5 м. Трябва да изчислим дължината на рампата, която е хипотенузата на правоъгълния триъгълник, за ъглите от 30° и 45°.

За изчислението използвахме синуса на ъгъла, който е съотношението между противоположната страна, 5m, и хипотенузата r, която е дължината на рампата.

За забележимите ъгли 30° и 45° стойностите на синусите са:

s и n пространство 30 градуса знак пространство е равно на пространство 1 половина s и n пространство 45 градуса знак пространство е равно пространство числител квадратен корен от 2 над знаменател 2 край на дроб

за 30°

до 45°

рационализиращи

Заместване на стойността на

въпрос 10

(EPCAR 2020) През нощта хеликоптер на бразилските военновъздушни сили лети над равнинен регион и забелязва БЛА (въздушно превозно средство Безпилотен) с кръгла форма и незначителна височина, с радиус 3 m, паркиран успоредно на земята на 30 m от височина.

БЛА е на разстояние y метра от прожектора, който е монтиран на хеликоптера.

Лъчът светлина от прожектора, който преминава през UAV, пада върху плоската област и произвежда кръгла сянка с център O и радиус R.

Радиусът R на обиколката на сянката образува ъгъл от 60º със светлинния лъч, както се вижда на следващата фигура.

В този момент човек, който се намира в точка А на обиколката на сянката, бяга до точка О, крак от перпендикуляра, начертан от прожектора към равнината.

Разстоянието в метри, което този човек изминава от А до О, е число между тях

а) 18 и 19

б) 19 и 20

в) 20 и 21

г) 22 и 23

обратната връзка е обяснена

обективен

Определете дължината на сегмента AO в горната рамка , радиус на окръжността на сянката.

Данни

Височината от O до UAV е 30 m.
Радиусът на БЛА е 3 m.

Използвайки допирателната от 60°, ние определяме частта, маркирана в червено на следното изображение:

Изображение, свързано с разрешаването на проблема.

Като се има предвид допирателната на 60° = корен квадратен от 3 а допирателната е съотношението между страната, противоположна на ъгъла, и съседната му страна, имаме: