Вътрешна теорема за сисектори: какво е това, доказателство

THE Вътрешната теорема за сисектриси е разработена специално за триъгълници и показва, че когато проследим вътрешната ъглополовяща на ъгъл на триъгълника, точката на среща на ъглополовящата със страната срещу нея разделя тази страна на линейни сегменти пропорционално на съседните страни на този ъгъл. С прилагането на теоремата за вътрешната сисектриса възможно е да се определи стойността на страната или сегментите на триъгълника, като се използва пропорцията между тях.

Вижте също: Медиана, ъглополовяща и височина на триъгълник - каква е разликата?

Обобщение за вътрешната теорема за сисектриса:

  • Симетралата е a лъч която разделя ъгъла на два равни ъгъла.

  • Вътрешната теорема за сисектриса е специфична за триъгълниците.

  • Тази теорема доказва, че ъглополовящата разделя противоположната страна на пропорционални сегменти към страните, съседни на ъгъл.

Видео урок по вътрешната теорема за сисектриса

Не спирай сега... След рекламата има още ;)

Каква е теоремата за бисектриса?

Преди да разберем какво казва теоремата за вътрешната сисектриса, важно е да знаем какво е

бисектриса на ъгъл. Това е лъч, който разделя ъгъла на две равни части., тоест две части, които имат еднаква мярка.

Бисектриса на ъгъл A, обозначен в оранжево.
Демаркация на ъглополовящата AD на ъгъл.

Разбирайки какво е ъглополовящата, забелязваме, че тя съществува във вътрешния ъгъл на триъгълник. Когато очертаем ъглополовящата на ъгъл на триъгълника, тя ще раздели противоположната страна на два сегмента. По отношение на вътрешната ъглополовяща, неговата теорема казва, че двата сегмента, разделени от него, са пропорционални на съседните страни на ъгъла.

 Триъгълник ABC в бежов цвят с оранжеви ръбове и ъгъл, обозначен в зелено, очертан от ъглополовяща BD.

Обърнете внимание, че ъглополовящата разделя страната AC на два сегмента, AD и DC. Теоремата за бисектриса показва това:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Знам повече: Теорема на Питагор — друга теорема, разработена за триъгълници

Доказателство на теоремата за вътрешната сисектриса

В триъгълник ABC по-долу ще разграничим отсечката BD, която е ъглополовящата на този триъгълник. Освен това ще проследим удължаването на неговата страна CB и отсечката AE, успоредно на BD:

Триъгълник ABC в бежов цвят с бисектриса BD и разширение AEB

Ъгълът AEB е равен на ъгъла DBC, тъй като CE е a прав напречно на успоредните отсечки AE и BD.

прилагане на Теорема на Талес, стигнахме до заключението, че:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Сега ние остава да се покаже, че BE = AB.

Тъй като x е мярката на ъгъла ABD и DBC, анализирайки ъгъла ABE, получаваме:

ABE = 180 - 2x

Ако y е мярката за ъгъл EAB, имаме следната ситуация:

Триъгълник ABC в бежово, с бисектриса BD, разширение AEB и ъгли с неизвестни в продължението.

Знаем, че сума от вътрешните ъгли на триъгълника ABE е 180°, така че можем да изчислим:

180 - 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Ако ъгълът x и ъгълът y имат еднаква мярка, триъгълникът ABE е равнобедрен. Следователно страната AB = AE.

Тъй като сумата от вътрешните ъгли на триъгълник винаги е равна на 180°, в триъгълник ACE имаме:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Тъй като y = x, триъгълникът ACE е равнобедрен. Следователно отсечките AE и AC са равни. Смяна на AE за AC in причина, доказано е, че:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

пример:

Намерете стойността на x в следния триъгълник:

Бял триъгълник ABC, със страни 6, 8 и 3 + x, с начертана ъглополовяща BD.

Анализирайки триъгълника, получаваме следното съотношение:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Кръстосано умножение:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

х = 4

Прочетете също: Забележителни точки на триъгълник - какви са те?

Решени упражнения върху вътрешната теорема за сисектриса

Въпрос 1

Разглеждайки триъгълника по-долу, можем да кажем, че стойността на x е:

 Бял триъгълник ABC, със страни 27, 30 и 18, с начертана сисектриса BD.

а) 9

Б) 10

В) 11

Г) 12

Д) 13

Резолюция:
Алтернатива D

Прилагайки вътрешната теорема за сисектриси, получаваме следното изчисление:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Кръстосано умножение:

\(27x=18\ \вляво (30-x\вдясно)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

въпрос 2

Анализирайте следния триъгълник, като знаете, че вашите измервания са дадени в сантиметри.

 Бял триъгълник ABC, със страни 2x, 4x – 9 и 12 cm, с очертана бисектриса BD.

Периметърът на триъгълник ABC е равен на:

А) 75 см

Б) 56 см

В) 48 см

Г) 24 см

Д) 7,5 см

Резолюция:

Алтернатива C

Прилагайки теоремата за бисектриса, първо ще намерим стойността на x:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \вляво (4x-9\вдясно)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Така неизвестните страни измерват:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Спомняйки си, че габаритна дължина използван е cm, the периметър на този триъгълник е равно на:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 см

От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика

Искате ли да посочите този текст в училище или академична работа? Виж:

ОЛИВЕЙРА, Раул Родригес де. „Теорема за вътрешна ъглополовяща“; Бразилско училище. Наличен в: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Посетен на 04 април 2022 г.

Хадес: господарят на подземния свят в гръцката митология

Хадес е божество на гърците в Античността, смятан за бог на подземния свят, като господар на тази...

read more
Научна нотация: как се прави, примери, упражнения

Научна нотация: как се прави, примери, упражнения

А научна нотация е представяне на числа с помощта на степени на основа 10. Този тип представяне е...

read more

Никс: коя е тя, сили и атрибути на гръцката богиня

Никс е богиня, присъстваща в митологията на Древна Гърция, като второстепенна фигура както в гръц...

read more