THE Вътрешната теорема за сисектриси е разработена специално за триъгълници и показва, че когато проследим вътрешната ъглополовяща на ъгъл на триъгълника, точката на среща на ъглополовящата със страната срещу нея разделя тази страна на линейни сегменти пропорционално на съседните страни на този ъгъл. С прилагането на теоремата за вътрешната сисектриса възможно е да се определи стойността на страната или сегментите на триъгълника, като се използва пропорцията между тях.
Вижте също: Медиана, ъглополовяща и височина на триъгълник - каква е разликата?
Обобщение за вътрешната теорема за сисектриса:
Симетралата е a лъч която разделя ъгъла на два равни ъгъла.
Вътрешната теорема за сисектриса е специфична за триъгълниците.
Тази теорема доказва, че ъглополовящата разделя противоположната страна на пропорционални сегменти към страните, съседни на ъгъл.
Видео урок по вътрешната теорема за сисектриса
Каква е теоремата за бисектриса?
Преди да разберем какво казва теоремата за вътрешната сисектриса, важно е да знаем какво е
бисектриса на ъгъл. Това е лъч, който разделя ъгъла на две равни части., тоест две части, които имат еднаква мярка.
Разбирайки какво е ъглополовящата, забелязваме, че тя съществува във вътрешния ъгъл на триъгълник. Когато очертаем ъглополовящата на ъгъл на триъгълника, тя ще раздели противоположната страна на два сегмента. По отношение на вътрешната ъглополовяща, неговата теорема казва, че двата сегмента, разделени от него, са пропорционални на съседните страни на ъгъла.
Обърнете внимание, че ъглополовящата разделя страната AC на два сегмента, AD и DC. Теоремата за бисектриса показва това:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Знам повече: Теорема на Питагор — друга теорема, разработена за триъгълници
Доказателство на теоремата за вътрешната сисектриса
В триъгълник ABC по-долу ще разграничим отсечката BD, която е ъглополовящата на този триъгълник. Освен това ще проследим удължаването на неговата страна CB и отсечката AE, успоредно на BD:
Ъгълът AEB е равен на ъгъла DBC, тъй като CE е a прав напречно на успоредните отсечки AE и BD.
прилагане на Теорема на Талес, стигнахме до заключението, че:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Сега ние остава да се покаже, че BE = AB.
Тъй като x е мярката на ъгъла ABD и DBC, анализирайки ъгъла ABE, получаваме:
ABE = 180 - 2x
Ако y е мярката за ъгъл EAB, имаме следната ситуация:
Знаем, че сума от вътрешните ъгли на триъгълника ABE е 180°, така че можем да изчислим:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Ако ъгълът x и ъгълът y имат еднаква мярка, триъгълникът ABE е равнобедрен. Следователно страната AB = AE.
Тъй като сумата от вътрешните ъгли на триъгълник винаги е равна на 180°, в триъгълник ACE имаме:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Тъй като y = x, триъгълникът ACE е равнобедрен. Следователно отсечките AE и AC са равни. Смяна на AE за AC in причина, доказано е, че:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
пример:
Намерете стойността на x в следния триъгълник:
Анализирайки триъгълника, получаваме следното съотношение:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Кръстосано умножение:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
х = 4
Прочетете също: Забележителни точки на триъгълник - какви са те?
Решени упражнения върху вътрешната теорема за сисектриса
Въпрос 1
Разглеждайки триъгълника по-долу, можем да кажем, че стойността на x е:
а) 9
Б) 10
В) 11
Г) 12
Д) 13
Резолюция:
Алтернатива D
Прилагайки вътрешната теорема за сисектриси, получаваме следното изчисление:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Кръстосано умножение:
\(27x=18\ \вляво (30-x\вдясно)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
въпрос 2
Анализирайте следния триъгълник, като знаете, че вашите измервания са дадени в сантиметри.
Периметърът на триъгълник ABC е равен на:
А) 75 см
Б) 56 см
В) 48 см
Г) 24 см
Д) 7,5 см
Резолюция:
Алтернатива C
Прилагайки теоремата за бисектриса, първо ще намерим стойността на x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \вляво (4x-9\вдясно)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Така неизвестните страни измерват:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Спомняйки си, че габаритна дължина използван е cm, the периметър на този триъгълник е равно на:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 см
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm