Бином на Нютон е всеки бином, повдигнат до число не на какво не това е естествено число. Благодарение на проучванията на физика Исак Нютон за силите на двучлените беше възможно проверете закономерностите, които улесняват представянето на полинома генерирани от мощността на бином.
Спазвайки тези закономерности, също стана възможно намерете само един от условията на многочлен, без да се налага да се изчислява всичко, като се използва формулата на общия член на бином. Освен това Нютон забеляза връзка между комбинаторен анализа и двучлените на Нютон, какво е направило Триъгълник на Паскал чудесен инструмент за по-практическото развитие на бином на Нютон.
Прочетете също: Устройство на Бриот-Руфини - метод за разделяне на полиноми
Определение на бином на Нютон
Определяме като бином наполином, който има два термина. В някои приложения по математика и физика е необходимо да се изчислят степени на бином. За да улесните процеса, Исак Нютон забеляза важни закономерности които ни позволяват да намерим полинома, който е резултат от степента на бином.
В някои случаи изчислението е съвсем просто: просто изпълнете умножение на бинома от само себе си, използвайки разпределителното свойство. До потентност от порядък 3, ние се развиваме без много усилия, тъй като те са добре известни забележителни продукти, но за по-високи сили, изчислете от умножението на термина от само себе си не понякога е много работа.
Примери
Не забравяйте, че всяко число, повдигнато на нула, е равно на 1 и че всяко число, повдигнато на 1, е само по себе си, което важи и за биномите.
Нютон забеляза а връзка между коефициентите на всеки от членовете и комбинацията, което позволява изчисляването на степен на двучлен по-директно от следната формула:
Разбиране на формулата:
Първо нека разгледаме буквалната част на всеки термин, която е буквата с нейния експонент. Имайте предвид, че за всеки член степента на “a ”намаляваше, започвайки от n, след това преминавайки към n - 1 и така нататък, докато не беше 1 в предпоследния срок и 0 в последния член (което кара буквата„ a “дори да не се появява в последния срок).
идентифициране The и неговите показатели:
Сега нека анализираме експонентите на "b", които винаги се увеличават, започвайки с 0 в първия член ( което прави буквата b да не се появява в първия член), 1 във втория член и така нататък, докато е равна The непрез последния мандат.
идентифициране Б. и неговите показатели:
Разбиране на буквалната част, нека анализирайте коефициентите, които са всички комбинации от не елементи, взети от 0 до 0, 1 до 1, 2 до 2 и така нататък до последния член, който е комбинацията от не елементи, взети от не в не.
Забележително е, че е важно да овладеете изчисляването на комбинации за да може да се намерят коефициентите. Не забравяйте, че за да изчислим комбинации, трябва:
Комбинационният отговор винаги е a естествено число.
Вижте също: Полиномиално деление: как да го решим?
Пример: Изчислете бинома на Нютон (a + b) до четвъртата степен.
1-ва стъпка: напишете полинома, използвайки формулата.
2-ра стъпка: изчислете комбинациите.
Чрез заместване на комбинациите, намереният полином ще бъде:
Можете да видите, че решаването на подобни случаи все още е трудоемко, в зависимост от степента, но въпреки това е по-бързо от изчисляването с помощта на разпределителното свойство. Инструмент, който може да помогне при това изчисление, е триъгълникът на Паскал.
Триъгълник на Паскал
Триъгълникът Паскал е разработен от Блез Паскал по време на изследването на комбинациите. Той е начин, който улеснява изчисляването на комбинации. Използването на триъгълника Паскал прави по-бързо и лесно намирането на коефициентите на буквалните части на бином на Нютон, без да се налага да се изчисляват всички комбинации.
За да изградим директно триъгълника на Паскал, нека си припомним две ситуации, при които изчислението на комбинацията е равно на 1.
По този начин първият и последният член на всички редове винаги са равни на 1. Централните термини се изграждат от сумата на термина над него плюс неговия съсед от предишната колона, както е представено по-долу:
За да изградите следващите редове, просто не забравяйте, че първият член е 1, а последният също. Тогава е достатъчно да направите сумите, за да откриете централните термини.
Също така достъп: Теорема за полиномно разлагане
Пример: Изчислете (a + b) до шеста степен.
1-ва стъпка: приложи формулата на бинома.
2-ра стъпка: конструирайте триъгълника на Паскал до 6-та линия.
3-та стъпка: заменете комбинациите със стойностите в ред 6, които са коефициентите на всеки от членовете на бинома.
Това, което определя броя на редовете, които ще изградим от бинома, е стойността на n. Важно е да запомните, че първият ред е нула.
Биномният общ термин на Нютон
Общият термин на Нютон бином е формула, която ни позволява да изчислим член на бинома, без да се налага да разработваме целия полином, тоест можем идентифицирайте някой от термините от първо до последно. С формулата директно изчисляваме търсения термин.
The: първи семестър
Б: втори срок
н: експонента
p + 1: дума за търсене
Пример: Намерете 11-ия член на бинома (a + b)12.
Резолюция:
Вижте също: Демонстрации през на алгебрично смятане
решени упражнения
Въпрос 1 - (Cesgranrio) Коефициентът на x4 в полинома P (x) = (x + 2)6:
а) 64
б) 60
в) 12
г) 4
д) 24
Резолюция
Искаме да намерим конкретен термин при решаването на бинома; за това трябва да намерим стойността на p.
Знаем, че първият член в този случай е равен на x, така че n - p = 4, като n = 6, имаме:
Следователно коефициентът е 60 (алтернатива Б).
Въпрос 2 - (Unifor) Ако централният член на биномното развитие (4x + ky)10 за 8064x5у5, тогава алтернативата, която съответства на стойността на k ще бъде:
а) 1/4
б) 1/2
в) 1
г) 2
д) 4
Резолюция: Знаем, че централният член има равни коефициенти (p = 5). Нека намерим 6-ия член, тъй като p + 1 = 6. Освен това имаме, че a = 4x; b = ky и n = 10, така че:
Алтернатива D.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
