Дедукция на третия закон на Кеплер. Третият закон на Кеплер.

Знаем, че орбитите на планетите са елиптични, но за дедукция на третия закон на Кеплер, нека разгледаме кръгова орбита. Въпреки че следната демонстрация се основава на кръгови орбити, резултатите са валидни и за елиптични орбити.

На фигурата имаме планета, обикаляща около Слънцето. Центростремителната сила (Fc) е гравитационна сила на привличане, упражнявана от Слънцето. Силите на привличане, упражнявани между планетите и спътниците, се пренебрегват, това се дължи на факта, че техните маси са много по-малки от масата на Слънцето.

Като планетата на масата (м) обикаля около Слънцето в кръгово движение и с ъглова скорост ( ), резултантната сила върху планетата, наречена центростремителна сила (Fc), се дава от:

Ф_{° С}=mω² r

на какво:

Ф_{° С}:центробежна сила;
m: маса на планетата;
ω: ъглова скорост на планетата;
r: радиус на орбитата на планетата.

Ъгловата скорост се определя от:

на какво:

Т: период на революция на планетата.

Замествайки уравнение 2 в уравнение 1, имаме:

Обърнете внимание, че центростремителната сила е гравитационната сила на привличане между Слънцето и планетата. По този начин, като се има предвид масата на Слънцето като (M) и радиуса на орбитата на планетата като (r), което е разстоянието между Слънцето и планетата, Законът за универсалната гравитация може да бъде записан по следния начин:

на какво:

Приравнявайки уравнение 3 с 4, ще имаме:

Скоро:

Погледнете уравнение 5 и отбележете, че терминът  е константна, тъй като неизвестните се отнасят до универсалната константа и масата на слънцето, така че уравнението може да бъде пренаписано, както следва:

T²=кр³

на какво:

k: константа на пропорционалност.

Уравнение 6 ни казва, че квадратът на периода на въртене на планетата около Слънцето е право пропорционален на куба на разстоянието между тях.

Чрез горното уравнение можем да направим извода, че колкото по-далеч е планетата от Слънцето, толкова по-дълъг е нейният период на революция.

Третият закон на Кеплер, който току-що изведохме, е валиден и по отношение на Земята за движението на Луната и изкуствените спътници.

От Натан Аугусто
Завършил физика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm