О Триъгълник на Паскал това е доста стар математически инструмент. В историята е получил няколко имена, но най-приетите днес са аритметичен триъгълник и триъгълника на Паскал. Второто име е почит към математика, който направи няколко приноса в изучаването на този триъгълник. означава, че триъгълникът е изобретен от него, но той е този, който направи по-задълбочено проучване на това инструмент.
От свойствата на триъгълника Паскал е възможно да се конструира логически. Също така се откроява вашият връзка с комбинации изучаван в комбинаторен анализ. Членовете на триъгълника на Паскал също съответстват на биномиални коефициенти и следователно е много полезно за изчисляване на всеки бином на Нютон.
Прочетете също: Устройство Briot-Ruffini - метод за разделяне на полиноми
Построяване на триъгълника на Паскал
Триъгълник на Паскал се получава от резултата от комбинациите, но има практичен метод, който улеснява начина за изграждането му. Първият ред и първата колона се отчитат като нулев ред и нула колона.
Можем да използваме толкова линии, колкото е необходимо в тази конструкция, следователно триъгълникът може да има безкрайни линии. Обосновката за изработването на редовете е винаги една и съща. Виж:
Ние знаем това триъгълните термини са комбинации, учил в комбинаторен анализ. За да заменим триъгълника на Паскал с числови стойности, знаем, че комбинациите от число с нула и число със себе си винаги са равни на 1. Следователно първата и последната стойност винаги са 1.
За да намерим останалите, започваме с ред 2, тъй като ред 0 и ред 1 вече са завършени. В ред 2, за да намерим комбинацията от 2 към 1, в горния ред, тоест в ред 1, нека добавим термина над него в същата колона и термина над него в предишната колона, както е показано на изображението :
След изграждане на линия 2 е възможно да се изгради линия 3, като се изпълнява същата процедура.
Продължавайки тази процедура, ще намерим всички термини – в този случай до ред 5 – но е възможно да се изградят толкова редове, колкото е необходимо.
Свойства на триъгълника на Паскал
Има няколко свойства на триъгълника на Паскал, поради закономерността в изграждането му. Тези свойства са полезни за работа с комбинации, самото изграждане на триъгълни линии и сбора от линии, колони и диагонали.
1-ви имот
Първият имот беше този, който използвахме за изграждането на триъгълника. Така че да намерете член в триъгълника на Паскал, просто добавете термина, който е в реда над него и същата колона с термина, който е в колоната и реда преди него. Това свойство може да бъде представено по следния начин:
Този имот е известен като Връзката на Стифел и е важно да се улесни изграждането на триъгълника и да се намерят стойностите на всяка от линиите.
2-ри имот
Сумата от всички термини в ред се изчислява по:
сне=2не, на какво не е номерът на реда.
Примери:
С този имот е възможно да се знае сумата от всички членове на една права без непременно да се налага да конструирате триъгълника на Паскал. Сумата от ред 10, например, може да се изчисли с 210 = 1024. Въпреки че не всички термини са известни, вече е възможно да се знае сумата на цялата линия.
3-ти имот
Сумата от термини в последователността от началото на дадена колона за до определена линия не е същото като термина на линията n+1 гръб и колона р+1 по-късно, както е показано по-долу:
4-ти имот
Сумата от диагонал, който започва в колона 0 и отива до члена в колона p и ред n, е равен на члена в същата колона (p), но в реда по-долу (n+1), както е показано на изображението :
5-ти имот
Има симетрия в линиите на триъгълника на Паскал. Първият и вторият член са равни, вторият и предпоследният член са равни и т.н.
пример:
ред 6: 1615 20 156 1.
Имайте предвид, че термините са равни две на две, с изключение на централния член.
Вижте също: Полиномно деление: как да го решим?
Бином на Нютон
Дефинираме бинома на Нютон a сила на един полином който има два термина. Изчисляването на бином е свързано с триъгълника на Паскал, който се превръща в механизъм за изчисляване на това, което наричаме биномни коефициенти. За да изчислим бином, използваме следната формула:
Имайте предвид, че стойността на степента на В намалява, докато в последния член не стане равен на В0. Знаем, че всяко число, повдигнато до 0, е равно на 1, оттук и терминът В не се появява в последния мандат. Също така имайте предвид, че степента на Б започва с Б0, скоро Б не се появява в първия срок и се увеличава до достигане Бне, в последния мандат.
Освен това числото, което придружава всеки от термините, е това, което наричаме коефициент – в този случай известен като биномен коефициент. За да разберете по-добре как да решите този тип бином, влезте в нашия текст: Бином на Нютон.
биномен коефициент
Биномиалният коефициент не е нищо повече от комбинацията, която може да се изчисли по формулата:
Въпреки това, за да се улесни изчисляването на бинома на Нютон, е от съществено значение да се използва триъгълникът на Паскал, тъй като той ни дава резултата от комбинацията по-бързо.
пример:
За да намерим резултата от биномния коефициент, нека намерим стойностите на ред 5 от триъгълника на Паскал, които са {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3г2+ 10x2г3 + 5xy4+1г5
Просто казано:
(x+y)5= х5+5x4y+10x3г2+ 10x2г3 + 5xy4+y5
решени упражнения
Въпрос 1 - Стойността на израза по-долу е?
А) 8
Б) 16
в) 2
Г) 32
Д) 24
Резолюция
Алтернатива А.
Прегрупирайки положителните и отрицателните стойности, трябва да:
Обърнете внимание, че всъщност изчисляваме изваждането между ред 4 и ред 3 от триъгълника на Паскал. По свойство знаем, че:
с4 = 24 = 16
с3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Въпрос 2 - Каква е стойността на израза по-долу?
А) 32
Б) 28
в) 256
Г) 24
Д) 54
Резолюция
Алтернатива Б.
Имайте предвид, че добавяме термините от колона 1 на триъгълника на Паскал към ред 7, след това към третия свойство, стойността на тази сума е равна на члена, който заема ред 7+1 и колона 1+1, тоест ред 8, колона 2. Тъй като искаме само една стойност, конструирането на целия триъгълник на Паскал не е удобно.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
