НА средна геометрична заедно със средната аритметична и хармоничната средна са разработени от питагорейската школа. В статистика доста често се търси представяне на набор от данни от една стойност за вземане на решения. Една от възможностите за централната стойност е геометричната средна стойност.
Полезно е за представяне на набор, който има данни, които се държат близо до a геометрична прогресия, също за намиране на страната на квадрат и куб, знаейки съответно площта и обема. Геометричната средна стойност също се прилага в ситуации на натрупване на процентно увеличение или намаляване. За да изчислим геометричната средна стойност на набор от n стойности, ние изчисляваме n-ти корен от произведението на елементите, тоест, ако даден набор има три термина, например, умножаваме трите и изчисляваме кубичния корен на продукта.
Геометрична средна формула
Геометричната средна стойност се използва за намиране на a средна стойност между набор от данни. За изчисляване на средната геометрична стойност е необходим комплект с два или повече елемента. Нека A е набор от данни A = (x1, х2, х3,... хне), набор с n елемента, средната геометрична стойност на този набор се изчислява по:
Прочетете също: Дисперсионни мерки: амплитуда и отклонение
Изчисляване на средната геометрична стойност
Нека A = {3,12,16,36}, каква ще бъде средната геометрична стойност на този набор?
Резолюция:
За да изчислим геометричната средна стойност, първо броим броя на членовете в множеството, в случая n = 4. Така че трябва да:
Метод 1: Извършване на умноженията.
Тъй като не винаги имаме на разположение калкулатор за извършване на умножения, възможно е да се направи изчислението въз основа на факторизиране на a естествено число.
Метод 2: Факторизация.
Използвайки факторизациите, ние трябва:
Приложения на геометрична средна стойност
Геометричната средна стойност може да се приложи към всеки статистически набор от данни, но обикновено е така наети в геометрия, за да сравним страните на призми и кубчета с еднакъв обем, или квадрати и правоъгълници от една и съща площ. Има и приложение в проблеми с финансовата математика които включват натрупан процент процент, т.е. процент под процент. Освен че е най-удобното средство за данни, които се държат като геометрична прогресия.
Пример 1: Приложение в проценти.
Един продукт в продължение на три месеца имаше последователни увеличения, първият беше 20%, вторият 10% и третият 25%. Какъв беше средният процент на увеличение в края на този период?
Резолюция
Продуктът първоначално струва 100%, през първия месец започва да струва 120%, което в десетичната му форма се записва като 1.2. Тази аргументация ще бъде еднаква за трите увеличения, така че искаме средната геометрична стойност между: 1.2; 1,1; и 1.25.
Увеличението е средно 18,2% на месец.
Вижте също: Изчисляване на процента с правило три
Пример 2: Приложение в геометрията.
Каква трябва да е стойността на x в изображението, знаейки, че квадратът и правоъгълникът имат една и съща площ?
Резолюция:
За да намерим стойността x на страната на квадрата, ще изчислим геометричната средна стойност между страните на правоъгълника.
Следователно страната на квадрата е 12 cm.
Пример 3: Геометрична прогресия.
Какви са условията на P.G., знаейки, че предшественикът на централната стойност е x, централната стойност е 10, а наследникът на централната стойност е 4x.
Резолюция:
Познаваме условията на P.G. (x, 10,4x) и знаем, че средната геометрична стойност между наследника и предшественика е равна на централния член на P.G., така че трябва да:
Разлика между средната геометрична и средната аритметична стойност
В статистиката начинът на поведение на данните е много важен за избора на една стойност, която да ги представя. Ето защо има видове централни мерки и има видове медии.
Изборът коя средна стойност да се използва трябва да бъде направен, като се вземе предвид набора от данни, по който работим. Както се вижда в примера, ако това са данни, които се държат близо до геометрична прогресия и имат най-експоненциален растеж, се препоръчва средната геометрична стойност.
В други ситуации най-вече използваме средно аритметичнонапример средното тегло на дадено лице през годината. Когато се сравнява изчислението на два вида средни стойности за един и същ набор от данни, геометричните винаги ще бъдат по-малки от аритметичните.
Когато сравняваме средната аритметична формула със средната геометрична формула, забелязваме разликата, тъй като първата се изчислява по сума на разделени терминиThe по сумата на сроковете, докато вторият, както видяхме, се изчислява от n-тия корен на произведението на всички членове.
Пример 4: Като се има предвид множеството (3, 9, 27, 81, 243), осъзнайте, че това е P.G. на съотношение 3, тъй като от първия към втория член умножаваме по три, от втория към третия също и т.н. Когато се търси централна стойност, която да представлява този набор, в идеалния случай това трябва да бъде централният член на прогресията, което се случва, ако изчислим геометричната средна стойност. Въпреки това, когато се изчислява средната аритметична стойност, по-големите стойности правят стойността на тази средна стойност твърде висока спрямо условията на множеството и колкото по-голяма е стойността, толкова по-далеч от представяне на централния член ще бъде аритметичната средна стойност.
Резолюция:
1-ва аритметична средна
2-ра геометрична средна стойност
Също така достъп: Мода, средно и медианаа - мерки за централност
Решени упражнения
Въпрос 1 - Цената на бензина в Бразилия премина през големи повишения през последните месеци. Месечните увеличения през последните 4 месеца бяха съответно 9%, 15%, 25% и 16%. Какъв беше средният процент на увеличение през този период?
а) 15%
б) 15,5%
в) 16%
г) 14%
д) 14,5%
Резолюция
Алтернатива А
Въпрос 2 - Призма с правоъгълна основа има същия обем като куб. Знаейки, че размерите на призмата са 6 см дълги, 20 см високи и 25 см широки, каква е стойността на страната на куба в сантиметри?
Резолюция:
Алтернатива D
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm
