Тригонометрията е важна тема в математиката, която дава възможност да се познават страни и ъгли в правоъгълен триъгълник, чрез синус, косинус и тангенс, в допълнение към други тригонометрични функции.
За да подобрите обучението си и да разширите знанията си, следвайте списъка с 8 упражнения, плюс 4 въпроса за приемни изпити, всички решени стъпка по стъпка.
Упражнение 1
Наблюдавайки сутринта сянката на сграда на земята, един човек установява, че тя измерва 63 метра, когато слънчевите лъчи правят ъгъл от 30 ° с повърхността. Въз основа на тази информация изчислете височината на сградата.
Точен отговор: Приблизително 36,37 m.
Сградата, сянката и слънчевият лъч определят правоъгълен триъгълник. Използвайки ъгъла 30 ° и допирателната, можем да определим височината на сградата.
Тъй като височината на сградата е h, имаме:
Упражнение 2
На обиколка с диаметър 3 сегмент AC, наречен хорда, образува ъгъл от 90 ° с друга хорда CB със същата дължина. Каква е мярката на струните?
Точен отговор: Дължината на въжето е 2,12 см.
Тъй като сегментите AC и CB образуват ъгъл от 90 ° и са с еднаква дължина, образуваният триъгълник е равнобедрен и базовите ъгли са равни.
Тъй като сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е равна на 180 ° и вече имаме ъгъл от 90 °, остават още 90 °, които трябва да бъдат разделени по равно между двата основни ъгъла. По този начин стойността им е равна на 45º всяка.
Тъй като диаметърът е равен на 3 см, радиусът е 1,5 см и можем да използваме косинуса от 45 °, за да определим дължината на струната.
Упражнение 3
Велосипедист, участващ в шампионат, се приближава до финалната линия в горната част на наклон. Общата дължина на тази последна част от изпитването е 60 m, а ъгълът, образуван между рампата и хоризонталата, е 30 °. Знаейки това, изчислете вертикалната височина, която велосипедистът трябва да изкачи.
Точен отговор: Височината ще бъде 30 m.
Призовавайки височината h, имаме:
Упражнение 4
Следващата фигура е оформена от три триъгълника, където височината h определя два прави ъгъла. Стойностите на елементите са:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Намерете стойността на a + b.
Правилен отговор:
Можем да определим измерванията на сегменти a и b, използвайки допирателните на дадените ъгли.
Изчисляване на:
Изчисляване на b:
Поради това,
Упражнение 5
Самолет излетя от град А и прелетя по права линия 50 км, докато кацна в град Б. След това прелетя още 40 км, като този път се насочи към град D. Тези два маршрута са под ъгъл 90 ° един към друг. Въпреки това, поради неблагоприятни метеорологични условия, пилотът получи съобщение от контролната кула, в което го информира, че не може да кацне в град D и че трябва да се върне в град А.
За да направи обратен завой от точка С, пилотът ще трябва да направи завой на колко градуса вдясно?
Обмисли:
грях 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
тен 51 ° = 1,25
Точен отговор: Пилотът трябва да направи завой от 129 ° надясно.
Анализирайки фигурата, виждаме, че пътеката образува правоъгълен триъгълник.
Нека наречем ъгъла, който търсим W. Ъгли W и Z се допълват, т.е. образуват плитък ъгъл от 180 °.
По този начин W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (уравнение 1)
Нашата задача сега е да определим ъгъла Z и за това ще използваме тангента му.
Трябва да се запитаме: Какъв е ъгълът, чиято тангенс е 1,25?
Проблемът ни дава тези данни, тен 51 ° = 1,25.
Тази стойност може да се намери и в тригонометрична таблица или с научен калкулатор, като се използва функцията:
Замествайки стойността на Z в уравнение 1, имаме:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
Упражнение 6
Лъч от монохроматична светлина, когато преминава от една среда в друга, страда от отклонение към нея. Тази промяна в нейното разпространение е свързана с показателите на пречупване на средата, както е показано в следната връзка:
Законът на Снел - Декарт
Където i и r са ъглите на падане и пречупване и, n1 и n2, показателите на пречупване на средства 1 и 2.
Когато удря повърхността на разделяне между въздух и стъкло, лъч светлина променя посоката си, както е показано на фигурата. Какъв е показателят на пречупване на стъклото?
Данни: Индекс на пречупване на въздуха, равен на 1.
Точен отговор: Индексът на пречупване на стъклото е равен на .
Замяна на стойностите, които имаме:
Упражнение 7
За да завлече дървен дървен материал в работилницата си, ключар завърза въже за дънера и го издърпа на десет фута по хоризонтална повърхност. Сила от 40 N през струната направи ъгъл от 45 ° с посоката на движение. Изчислете работата на приложената сила.
Точен отговор: Извършената работа е приблизително 84,85 Дж.
Работата е скаларно количество, получено от произведението на сила и изместване. Ако силата няма същата посока като изместването, трябва да разложим тази сила и да разгледаме само компонента в тази посока.
В този случай трябва да умножим величината на силата по косинуса на ъгъла.
Така че имаме:
Упражнение 8
Между две планини жителите на две села трябваше да пътуват по труден път нагоре и надолу. За да се разреши ситуацията, беше решено между селата А и Б да бъде изграден въжен мост.
Би трябвало да се изчисли разстоянието между двете села по права линия, на която ще бъде опънат мостът. Тъй като жителите вече са знаели височината на градовете и ъглите на изкачване, това разстояние може да се изчисли.
Въз основа на диаграмата по-долу и знаейки, че височината на градовете е 100 м, изчислете дължината на моста.
Точен отговор: Мостът трябва да има дължина приблизително 157,73 m.
Дължината на моста е сумата от страните, съседни на дадените ъгли. Призовавайки височината h, имаме:
Изчисляване с ъгъл 45 °
Изчисляване с ъгъл от 60 °
За да определим дължината на моста, сумираме получените стойности.
Въпрос 1
Cefet - SP
В триъгълник ABC отдолу CF = 20 cm и BC = 60 cm. Маркирайте измерванията на AF и BE сегменти съответно.
а) 5, 15
б) 10, 20
в) 15, 25
г) 20, 10
д) 10, 5
Отговор: б) 10, 20
За определяне на AF
Отбелязваме, че AC = AF + CF, така че трябва да:
AF = AC - CF (уравнение 1)
CF се дава от задачата, равна на 20 cm.
AC може да се определи с помощта на 30 ° синус.
BC се предоставя от задачата, равна на 60 cm.
Замествайки в уравнение 1, имаме:
За да се определи BE
Първо наблюдение:
Ние проверяваме дали фигурата вътре в триъгълника е правоъгълник, поради правите ъгли, определени на фигурата.
Следователно страните им са успоредни.
Второ наблюдение:
Сегментът BE образува правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 °, където: височината е равна на AF, която току-що определихме, а BE е хипотенузата.
Извършване на изчислението:
Използваме 30 ° синус за определяне на BE
въпрос 2
EPCAR-MG
Самолет излита от точка Б при постоянен наклон 15 ° към хоризонталата. На 2 км от B е вертикалната проекция C на най-високата точка D на 600 м висока планинска верига, както е показано на фигурата.
Данни: cos 15 ° = 0,97; грях 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Правилно е да се каже, че:
а) Самолетът няма да се сблъска с триона, преди да достигне 540 м височина.
б) Ще има сблъсък между самолета и триона на височина 540 m.
в) Самолетът ще се сблъска с триона в D.
г) Ако самолетът излети 220 m преди B, запазвайки същия наклон, няма да има сблъсък на самолета с триона.
Отговор: б) Ще има сблъсък между самолета и триона на височина 540 m.
Първо, необходимо е да се използва един и същ кратен на мерната единица за дължина. Следователно ще преминем 2 км до 2000 м.
Следвайки същите начални условия на полет, можем да предскажем височината, на която ще бъде самолетът във вертикалната проекция на точка С.
Използвайки допирателната 15 ° и определяйки височината като h, имаме:
въпрос 3
ENEM 2018
За украса на прав кръгъл цилиндър ще се използва правоъгълна лента от прозрачна хартия, на която диагонал, който образува 30 ° с долния ръб, е изчертан с получер шрифт. Радиусът на основата на цилиндъра е 6 / π cm и при навиване на лентата се получава линия във формата на спирала, както е показано на фигурата.
Стойността на измерването на височината на цилиндъра в сантиметри е:
а) 36√3
б) 24√3
в) 4√3
г) 36
д) 72
Отговор: б) 24√3
Наблюдавайки фигурата, забелязваме, че са направени 6 оборота около цилиндъра. Тъй като това е прав цилиндър, навсякъде в неговата височина ще имаме кръг като основа.
За да се изчисли мярката на основата на триъгълника.
Дължината на кръг може да бъде получена по формулата:
Където r е радиус e, равен на ,ние имаме:
Как са 6 обиколки:
Можем да използваме 30 ° тен за изчисляване на височината.
въпрос 4
ENEM 2017
Слънчевите лъчи достигат повърхността на езерото под ъгъл X с неговата повърхност, както е показано на фигурата.
При определени условия може да се приеме, че интензитетът на светлината на тези лъчи, върху повърхността на езерото, се дава приблизително от I (x) = k. sin (x), k е константа и ако X е между 0 ° и 90 °.
Когато x = 30º, интензитетът на светлината се намалява до какъв процент от максималната му стойност?
А) 33%
Б) 50%
В) 57%
Г) 70%
Д) 86%
Отговор: Б) 50%
Заменяйки 30 ° синусова стойност във функцията, получаваме:
След като намали стойността на k наполовина, интензитетът е 50%.
Практикувайте повече упражнения в:
Упражнения за тригонометрия
Разширете знанията си с:
Тригонометрия в правоъгълния триъгълник
Метрични отношения в правоъгълния триъгълник
Тригонометрия