Питагорова теорема: Решени и коментирани упражнения

Теоремата на Питагор показва, че в правоъгълен триъгълник квадратната хипотенузна мярка е равна на сумата от квадратите на крачните мерки.

Възползвайте се от решените и коментирани упражнения, за да отговорите на всичките ви съмнения относно това важно съдържание.

Предложени упражнения (с резолюция)

Въпрос 1

Карлос и Ана напуснаха дома си, за да работят от същата точка, гаражът на сградата, в която живеят. След 1 мин, следвайки перпендикулярна пътека, те бяха на разстояние 13 м.

Ако колата на Карлос е пътувала със 7 м повече от тази на Ана през това време, колко далеч са били от гаража?

а) Карлос беше на 10 м от гаража, а Ана на 5 м.
б) Карлос беше на 14 м от гаража, а Ана на 7 м.
в) Карлос беше на 12 м от гаража, а Ана беше на 5 м.
г) Карлос беше на 13 м от гаража, а Ана на 6 м.

Вижте Отговор

Точен отговор: в) Карлос беше на 12 м от гаража, а Ана беше на 5 м.

Страните на правоъгълния триъгълник, образувани в този въпрос, са:

• хипотенуза: 13 m
• по-голям крак: 7 + x
• по-къс крак: x

Прилагайки стойностите в теоремата на Питагор, имаме:

Сега прилагаме формулата на Bhaskara, за да намерим стойността на x.

Тъй като това е мярка за дължина, трябва да използваме положителната стойност. Следователно страните на правоъгълния триъгълник, образувани в този въпрос, са:

• хипотенуза: 13 m
• по-дълъг крак: 7 + 5 = 12 m
• по-къс крак: x = 5 m

Така Ана беше на 5 метра от гаража, а Карлос на 12 метра.

въпрос 2

Когато търсеше котето си, Карла го видя на върха на дърво. След това тя помоли майка си за помощ и те поставиха стълба до дървото, за да помогнат на котката да слезе.

Знаейки, че котката е на 8 метра от земята и основата на стълбата е разположена на 6 метра от дървото, колко време е използвана стълбата за спасяване на котето?

а) 8 метра.
б) 10 метра.
в) 12 метра.
г) 14 метра.

Вижте Отговор

Точен отговор: б) 10 метра.

Обърнете внимание, че височината, на която е котката, и разстоянието, в което е разположена основата на стълбата, образуват прав ъгъл, т.е. ъгъл от 90 градуса. Тъй като стълбата е разположена срещу правия ъгъл, тогава нейната дължина съответства на хипотенузата на правоъгълния триъгълник.

Прилагайки стойностите, дадени в теоремата на Питагор, откриваме стойността на хипотенузата.

Следователно стълбата е дълга 10 метра.

въпрос 3

Според мерките, представени в алтернативите по-долу, кое представя стойностите на правоъгълен триъгълник?

а) 14 см, 18 см и 24 см
б) 21 см, 28 см и 32 см
в) 13 см, 14 см и 17 см
г) 12 см, 16 см и 20 см

Вижте Отговор

Точен отговор: г) 12 см, 16 см и 20 см.

За да знаем дали представените мерки образуват правоъгълен триъгълник, трябва да приложим питагорейската теорема за всяка алтернатива.

а) 14 см, 18 см и 24 см

б) 21 см, 28 см и 32 см

в) 13 см, 14 см и 17 см

г) 12 см, 16 см и 20 см

Следователно мерките 12 cm, 16 cm и 20 cm съответстват на страните на правоъгълен триъгълник, тъй като квадратът на хипотенузата, най-дългата страна, е равен на сумата от квадрата на краката.

въпрос 4

Обърнете внимание на следните геометрични фигури, които имат едната страна, разположена в хипотенузата на правоъгълен триъгълник с размери 3 m, 4 m и 5 m.

Намерете височината (h) на равностранен триъгълник BCD и диагоналната стойност (d) на квадрата BCFG.

а) h = 4,33 m и d = 7,07 m
б) h = 4,72 m и d = 8,20 m
в) h = 4,45 m и d = 7,61 m
г) h = 4,99 m и d = 8,53 m

Вижте Отговор

Точен отговор: а) h = 4,33 m и d = 7,07 m.

Тъй като триъгълникът е равностранен, това означава, че трите му страни имат една и съща мярка. Изчертавайки линия, която съответства на височината на триъгълника, ние го разделяме на два правоъгълни триъгълника.

Същото важи и за квадрата. Когато начертаем диагоналната му линия, можем да видим два правоъгълни триъгълника.

Прилагайки данните от изявлението в теоремата на Питагор, намираме стойностите, както следва:

1. Изчисляване на височината на триъгълника (правоъгълен триъгълник):

След това стигаме до формулата за изчисляване на височината. Сега просто заменете стойността на L и я изчислете.

2. Изчисляване на диагонала на квадрата (хипотенуза на правоъгълния триъгълник):

Следователно височината на равностранен триъгълник BCD е 4,33, а диагоналната стойност на квадрата BCFG е 7,07.

Вижте също: Питагорова теорема

Решени проблеми с приемния изпит

въпрос 5

(Cefet / MG - 2016) Хвърчило, чиято фигура е показана по-долу, е построено в четириъгълния формат ABCD, тъй като и . пръчката на хвърчилото пресича пръчката в средната му точка E, образувайки прав ъгъл. При изграждането на това хвърчило мерките на използваните са съответно 25 см и 20 см, а измерването на равно на от мярката на .

При тези условия мярката на , в cm, е равно на

а) 25.
б) 40.
в) 55.
г) 70.

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: в) 55.

Наблюдавайки фигурата на въпроса, виждаме, че сегментът DE, който искаме да намерим, е същият като сегмента BD чрез изваждане на сегмента BE.

И така, тъй като знаем, че сегмент BE е равен на 20 cm, тогава трябва да намерим стойността на сегмент BD.

Имайте предвид, че проблемът ни дава следната информация:

За да намерим мярката на BD, трябва да знаем стойността на сегмента AC.

Тъй като точка E разделя сегмента на две равни части (средна точка), тогава . Следователно първата стъпка е да се намери измерването на сегмента CE.

За да намерим измерването на CE, установихме, че триъгълникът BCE е правоъгълник, че BC е хипотенузата, а BE и CE са краката, както е показано на изображението по-долу:

След това ще приложим теоремата на Питагор, за да намерим мярката на крака.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
х² = 625 - 400
х² = 225
x = √225
х = 15 см

За да намерим яката, бихме могли също така да забележим, че триъгълникът е питагорейски, т.е. измерванията на страните му са множество номера на измерванията на триъгълника 3, 4, 5.

По този начин, когато умножим 4 по 5, имаме стойността на яката (20) и ако умножим 5 по 5, имаме хипотенузата (25). Следователно другият крак може да бъде само на 15 (5. 3).

След като намерихме стойността на ЕС, можем да намерим и другите мерки:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Следователно мярката на е равно на 55 cm.

Вижте също: Питагор

въпрос 6

(МСФО - 2017) Да разгледаме равностранен триъгълник със страна 5√3 ܿ݉. Каква е височината и площта съответно на този триъгълник?

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: д) 7,5 см и 75√3 / 4 см²

Първо, нека нарисуваме равностранен триъгълник и начертаем височината, както е показано на изображението по-долу:

Имайте предвид, че височината разделя основата на два сегмента от една и съща мярка, тъй като триъгълникът е равностранен. Също така имайте предвид, че триъгълникът ACD на фигурата е правоъгълен триъгълник.

По този начин, за да намерим мярката за височина, ще използваме питагоровата теорема:

Познавайки измерването на височината, можем да намерим площта чрез формулата:

въпрос 7

(МСФО - 2016) На фигурата по-долу стойността на x и y, съответно, е

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: а) 4√2 и √97.

За да намерим стойността на x, нека приложим теоремата на Питагор към правоъгълния триъгълник, който има страни, равни на 4 cm.

х² = 4² + 4²
х² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

За да намерим стойността на y, ще използваме и теоремата на Питагор, като сега имаме предвид, че единият крак е с размер 4 cm, а другият 9 cm (4 + 5 = 9).

у² = 4² + 9²
у² = 16 + 81
y = √97 cm

Следователно стойността на x и y, съответно, е 4√2 и √97.

въпрос 8

(Apprentice Sailor - 2017) Вижте фигурата по-долу.

На фигурата по-горе има равнобедрен триъгълник ACD, в който отсечката AB е с размер 3 cm, неравномерната страна AD е с размери 10√2 cm, а сегментите AC и CD са перпендикулярни. Следователно е правилно да се твърди, че сегментът BD измерва:

а) √53 см
б) √97 см
в) √111 см
г) √149 см
д) √161 см

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: г) √149 см

Имайки предвид информацията, представена в проблема, изграждаме фигурата по-долу:

Според фигурата откриваме, че за да намерим стойността на x, ще е необходимо да намерим мярката на страната, която наричаме a.

Тъй като триъгълникът ACD е правоъгълник, ще приложим питагорейската теорема, за да намерим стойността на катета a.

Сега, когато знаем стойността на a, можем да намерим стойността на x, като разгледаме правоъгълния триъгълник BCD.

Обърнете внимание, че кракът BC е равен на измерването на крака минус 3 cm, т.е. 10 - 3 = 7 cm. Прилагайки теоремата на Питагор към този триъгълник, имаме:

Следователно е правилно да се твърди, че сегментът BD е с размер √149 cm.

въпрос 9

(IFRJ - 2013) Спортният двор в кампуса на Арозал на Федерален институт е правоъгълен, дълъг 100 м и широк 50 м, представен от правоъгълника ABCD на тази фигура.

Алберто и Бруно са двама студенти, които спортуват в двора. Алберто върви от точка А до точка С по диагонала на правоъгълника и се връща към началната точка по същия път. Бруно започва от точка Б, обикаля напълно двора, вървейки по страничните линии и се връща в началната точка. По този начин, като се има предвид √5 = 2.24, се посочва, че Бруно е ходил повече от Алберто

а) 38 m.
б) 64 m.
в) 76 m.
г) 82 m.

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: в) 76 m.

Диагоналът на правоъгълника го разделя на два правоъгълни триъгълника, като хипотенузата е диагоналът, а страните са равни на страните на правоъгълника.

И така, за да изчислим диагоналната мярка, нека приложим питагорейската теорема:

Докато Алберто отиде и се върна, така че той покри 224 м.

Бруно измина разстояние, равно на периметъра на правоъгълника, с други думи:

p = 100 + 50 + 100 + 50
р = 300 m

Следователно Бруно е вървял 76 м по-дълго от Алберто (300 - 112 = 76 м).

въпрос 10

(Enem - 2017) За украса на детска парти маса, готвач ще използва сферичен пъпеш с диаметър с размери 10 см, който ще служи като опора за шиш на различни сладкиши. Той ще премахне сферична капачка от пъпеш, както е показано на фигурата, и, за да осигури стабилността на тази опора, затруднявайки пъпеша да се търкаля по масата, шефът ще отреже така, че радиусът r на секцията с кръгло изрязване да е космат. минус 3 см. От друга страна, готвачът ще иска да има възможно най-голямата площ в региона, където сладките ще бъдат фиксирани.

За да постигне всичките си цели, шефът трябва да отреже капачката от пъпеш на височина h, в сантиметри, равна на

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: в) 1

Наблюдавайки фигурата, представена във въпроса, установихме, че височината h може да бъде намерена чрез намаляване на мярката на сегмента OA от мярката на радиуса на сферата (R).

Радиусът на сферата (R) е равен на половината от диаметъра й, който в този случай е равен на 5 см (10: 2 = 5).

Така че трябва да намерим стойността на OA сегмента. За това ще разгледаме триъгълника OAB, представен на фигурата по-долу, и ще приложим питагоровата теорема.

5² = 3² + x²
х² = 25 - 9
x = √16
х = 4 см

Можем също да намерим стойността на x директно, като отбележим, че това е питагорейският триъгълник 3,4 и 5.

Така стойността на h ще бъде равна на:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Следователно, готвачът трябва да отреже капачката от пъпеш на височина 1 cm.

въпрос 11

(Enem - 2016 - 2-ро приложение) Boccia е спорт, който се играе на игрища, които са равни и равни терени, ограничени от периметър дървени платформи. Целта на този спорт е да хвърля боули, които са топки, направени от синтетичен материал, за да го поставете ги възможно най-близо до болима, който е по-малка топка, за предпочитане от стомана, предварително стартира. Фигура 1 илюстрира топка за боче и болим, които са играни на корта. Да предположим, че играчът е хвърлил топка с радиус 5 cm, която е била подпряна на болина, с радиус 2 cm, както е показано на фигура 2.

Разгледайте точка С като център на топката, а точка О като център на топката. Известно е, че A и B са точките, в които топката за боче и болин съответно докосват земята на корта и че разстоянието между A и B е равно на d. При тези условия какво е съотношението между d и радиуса на болима?

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: д) √10

За да изчислим стойността на разстоянието d между точки A и B, нека изградим фигура, съединяваща центровете на двете сфери, както е показано по-долу:

Имайте предвид, че фигурата със синя точка е оформена като трапец. Нека разделим този трапец, както е показано по-долу:

Чрез разделяне на трапеца, получаваме правоъгълник и правоъгълен триъгълник. Хипотенузата на триъгълника е равна на сумата от радиуса на боч топката с радиуса на болима, т.е. 5 + 2 = 7 cm.

Измерването на единия крак е равно на d, а измерването на другия крак е равно на измерването на сегмента CA, което е радиусът на топката за боче, минус радиуса на болима (5 - 2 = 3) .

По този начин можем да намерим мярката на d, прилагайки питагорейската теорема към този триъгълник, т.е.

7² = 3² - на²
д² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Следователно съотношението между разстоянието d и болима ще бъде дадено чрез:.

въпрос 12

(Enem - 2014) Ежедневно жилището консумира 20 160 Wh. Тази резиденция разполага със 100 слънчеви клетки правоъгълни (устройства, способни да преобразуват слънчевата светлина в електрическа енергия) с размери 6 cm x 8 см. Всяка такава клетка произвежда през деня 24 Wh на сантиметър диагонал. Собственикът на тази къща иска да произвежда на ден точно същото количество енергия, което консумира къщата му. Какво трябва да направи този собственик, за да постигне целта си?

а) Премахнете 16 клетки.
б) Премахнете 40 клетки.
в) Добавете 5 клетки.
г) Добавете 20 клетки.
д) Добавете 40 клетки.

Вижте Отговор

Правилна алтернатива: а) Премахнете 16 клетки.

Първо ще трябва да разберете какъв е енергийният изход на всяка клетка. За това трябва да намерим мярката на диагонала на правоъгълника.

Диагоналът е равен на хипотенузата на триъгълника с катети, равни на 8 cm и 6 cm. След това ще изчислим диагонала, като приложим питагоровата теорема.

Забелязваме обаче, че въпросният триъгълник е питагорейски, кратен на триъгълник 3,4 и 5.

По този начин измерването на хипотенузата ще бъде равно на 10 см, тъй като страните на питагорейския триъгълник 3,4 и 5 се умножават по 2.

Сега, когато знаем диагоналното измерване, можем да изчислим енергията, произведена от 100-те клетки, т.е.:

Е = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Тъй като консумираната енергия е равна на 20 160 Wh, ще трябва да намалим броя на клетките. За да намерим този номер, ще направим:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Разделяйки тази стойност на енергията, произведена от клетка, намираме числото, което трябва да бъде намалено, т.е.

3 840: 240 = 16 клетки

Следователно действието на собственика за постигане на целта му трябва да бъде премахване на 16 клетки.

За да научите повече, вижте също: Упражнения за тригонометрия