Уравнение за гимназия: Коментирани упражнения и състезателни въпроси

Едно уравнение от втора степен е цялото уравнение във формата брадва² + bx + c = 0, с a, b и c реални числа и a ≠ 0. За да разрешите уравнение от този тип, можете да използвате различни методи.

Възползвайте се от резолюциите, коментирани по упражненията по-долу, за да изчистите всичките си съмнения. Също така не забравяйте да проверите знанията си с разрешените въпроси на конкурса.

Коментирани упражнения

Упражнение 1

Възрастта на майка ми, умножена по възрастта ми, е равна на 525. Ако, когато се родих, майка ми беше на 20 години, на колко години съм?

Решение

Като се има предвид възрастта ми, равна на х, тогава можем да помислим, че възрастта на майка ми е равна на x + 20. Как да разберем стойността на продукта на нашата епоха, тогава:

х. (x + 20) = 525

Прилагане към дистрибутивните свойства на умножението:

х² + 20 х - 525 = 0

След това стигаме до пълно уравнение от 2-ра степен, с a = 1, b = 20 и c = - 525.

За да изчислим корените на уравнението, т.е. стойностите на x, където уравнението е равно на нула, нека използваме формулата на Bhaskara.

Първо, трябва да изчислим стойността на ∆:

За да изчислим корените, използваме:

Замествайки стойностите във формулата по-горе, ще намерим корените на уравнението по следния начин:

Тъй като възрастта ми не може да бъде отрицателна, ние презираме стойността -35. Така че резултатът е 15 години.

Упражнение 2

Квадрат, представен на фигурата по-долу, има правоъгълна форма и площта му е равна на 1 350 m². Знаейки, че ширината му съответства на 3/2 височината му, определете размерите на квадрата.

Решение

Като се има предвид, че височината му е равна на х, ширината ще бъде равна на 3 / 2x. Площта на правоъгълник се изчислява чрез умножаване на основата му по стойността на височината. В този случай имаме:

Стигаме до непълно уравнение от 2-ра степен, с a = 3/2, b = 0 и c = - 1350, можем да изчислим този вид уравнение, като изолираме x и изчислим стойността на квадратния корен.

Тъй като стойността на x представлява мярката за височина, ние ще пренебрегнем - 30. По този начин височината на правоъгълника е равна на 30 m. За да изчислим ширината, нека умножим тази стойност по 3/2:

Следователно, квадратната ширина е равна на 45 м а височината му е равна на 30 м.

Упражнение 3

Така че x = 1 е коренът на уравнението 2ax² + (2-ро² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, стойностите на a трябва да бъдат:

а) 3 и 2
б) - 1 и 1
в) 2 и - 3
г) 0 и 2
д) - 3 и - 2

Решение

За да намерим стойността на a, нека първо заменим x с 1. По този начин уравнението ще изглежда така:

2.а.1² + (2-ро² - до - 4). 1 - 2 - а² = 0
2-ри + 2-ри² - до - 4 - 2 - до² = 0
The² + до - 6 = 0

Сега трябва да изчислим корена на пълното уравнение от 2-ра степен, за това ще използваме формулата на Баскара.

Следователно, правилната алтернатива е буква В.

Въпроси за конкурса

1) Epcar - 2017

Да разгледаме, в ℝ, уравнението (м+2) х² - 2мx + (м - 1) = 0 в променлива x, където м е реално число, различно от - 2.

Прегледайте твърденията по-долу и ги оценете като V (TRUE) или F (FALSE).

() За всички m> 2 уравнението има празен набор от решения.
() Има две реални стойности на m, за да може уравнението да допуска равни корени.
() В уравнението, ако ∆> 0, тогава m може да приема само положителни стойности.

Правилната последователност е

а) V - V - V
б) F - V - F
в) F - F - V
г) V - F - F

Вижте Отговор

Нека разгледаме всяко от твърденията:

За всички m> 2 уравнението има празен набор от решения

Тъй като уравнението е от втора степен по ℝ, то няма да има решение, когато делтата е по-малка от нула. Изчислявайки тази стойност, имаме:

Така че първото твърдение е вярно.

Има две реални стойности на m, за да може уравнението да допуска еднакви корени.

Уравнението ще има равни реални корени, когато Δ = 0, т.е.

- 4m + 8 = 0
m = 2

Следователно твърдението е невярно, тъй като има само една стойност на m, където корените са реални и равни.

В уравнението, ако ∆> 0, тогава m може да приема само положителни стойности.

При Δ> 0 имаме:

Тъй като в множеството безкрайни реални числа има отрицателни числа, по-малки от 2, твърдението също е невярно.

Алтернатива d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Лора трябва да реши уравнение от 2-ра степен в „дом“, но осъзнава, че когато копира от черната дъска в тетрадката, е забравила да копира коефициента х. За да реши уравнението, той го записа по следния начин: 4х² + брадва + 9 = 0. Тъй като тя знаеше, че уравнението има само едно решение и това беше положително, тя успя да определи стойността на a, което е

а) - 13
б) - 12
в) 12
г) 13

Вижте Отговор

Когато уравнение от 2-ра степен има единично решение, делтата от формулата на Баскара е равна на нула. За да намерим стойността на The, просто изчислете делтата, равна на стойността му на нула.

Така че ако a = 12 или a = - 12 уравнението ще има само един корен. Все пак трябва да проверим коя от стойностите на The резултатът ще бъде положителен корен.

За това нека намерим корена за стойностите на The.

Така че за a = -12 уравнението ще има само един корен и положително.

Алтернатива b: -12

3) Енем - 2016

Тунелът трябва да бъде запечатан с бетонен капак. Напречното сечение на тунела и бетонното покритие имат контурите на арка от парабола и същите размери. За да определи цената на работата, инженерът трябва да изчисли площта под въпросната параболична дъга. Използвайки хоризонталната ос на нивото на земята и оста на симетрия на параболата като вертикална ос, той получи следното уравнение за параболата:
y = 9 - x², където x и y се измерват в метри.
Известно е, че площта под парабола като тази е равна на 2/3 от площта на правоъгълника, чиито размери са съответно равни на основата и височината на входа на тунела.
Каква е площта на предната част на бетонното покритие в квадратни метри?

а) 18
б) 20
в) 36
г) 45
д) 54

Вижте Отговор

За да разрешим този проблем, трябва да намерим измерванията на основата и височината на входа на тунела, както проблемът ни казва, че площта на предната част е равна на 2/3 от площта на правоъгълника с тези размери.

Тези стойности ще бъдат намерени от даденото уравнение от 2-ра степен. Параболата на това уравнение има вдлъбнатина обърната надолу, тъй като коефициентът The е отрицателен. По-долу е даден контур на тази притча.

От графиката можем да видим, че мярката на основата на тунела ще бъде намерена чрез изчисляване на корените на уравнението. Вече височината му ще бъде равна на мярката на върха.

За да изчислим корените, наблюдаваме, че уравнението 9 - x² е непълен, така че можем да намерим корените му, като приравним уравнението на нула и изолираме x:

Следователно измерването на основата на тунела ще бъде равно на 6 m, т.е. на разстоянието между двата корена (-3 и 3).

Разглеждайки графиката, виждаме, че точката на върха съответства на стойността на оста y, която x е равна на нула, така че имаме:

Сега, когато знаем измерванията на основата и височината на тунела, можем да изчислим неговата площ:

Алтернатива c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

За каква стойност на "а" уравнението (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 има два корена и е равно?

до 1
б) 0
в) 1
г) 2

Вижте Отговор

За да има уравнение от 2-ра степен два равни корена, е необходимо Δ = 0, т.е. b²-4ac = 0. Преди да изчислим делтата, трябва да напишем уравнението във формата ax² + bx + c = 0.

Можем да започнем, като приложим разпределителното свойство. Въпреки това отбелязваме, че (x - 2) се повтаря и в двата термина, така че нека го представим като доказателство:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0

Сега, разпространявайки продукта, имаме:

брадва² - 2x - 2ax + 4 = 0

Изчислявайки Δ и равна на нула, намираме:

Така че, когато a = 1, уравнението ще има два еднакви корена.

Алтернатива c: 1

За да научите повече, вижте също:

• Уравнение от втора степен
• Уравнение от първа степен
• Квадратична функция
• Квадратична функция - Упражнения
• Линейна функция
• Свързани упражнения за функции